RECORRÊNCIA DA ORDEM

Pré-requisitos

Introdução filosófica

Introdução ao método das diferenças finitas

Breve sinopse histórica das diferenças finitas

História da fórmula de Patrício Leite

Objectivo introdutório

Desenvolvimento conceptual

Sucessões e funções

Sucessão de diferenças

Sucessão de diferenças e fórmula de Patrício Leite

Derivadas de funções

Derivadas de funções e fórmula de Patrício Leite

Triângularidade das sequências, funções e fórmula de Patrício Leite

Comparação entre sucessão de diferenças e sucessão de derivadas

Recorrência da ordem e ordem recorrente

Transcendência da ordem

Síntese Filosófica conclusiva

Síntese pessoal

 

 

Pré-requisitos

A apreciação desta obra de arte cognitiva, necessita, como pré-requisitos, um conjunto de atitudes e conhecimentos que nem todas as pessoas manifestam: nem todas as pessoas apreciam todo e qualquer tipo de arte …, nem todas as pessoas apreciam todo e qualquer estilo de arte …, nem todas as pessoas apreciam toda e qualquer obra de arte. Efectivamente, a apreciação da harmonia estética, requer atitude, disposição pessoal, cultura e conhecimento: uma breve história do pensamento e das ideias científicas, uma atitude filosófica fundamental, uma procura insaciável de conhecimento, um neopitagorismo que vê na ordem matemática os fundamentos da ordem do universo, são condições indispensáveis para a apreciação desta obra de arte cognitiva. São também necessários conhecimentos sobre recorrências e matemática das diferenças finitas, das sucessões e progressões, sequências e séries infinitas, do triângulo de Pascal, binómio de Newton e análise combinatória, dos fundamentos da teoria dos números, do cálculo diferencial e integral com as respectivas derivadas e primitivas a incluir na análise infinitesimal de funções, enfim, … quanto maior for a facilidade e destreza com que se manobram os conceitos e raciocínios da matemática, condimentados pela filosofia epistemológica das ciências, pois, também, maior será a apreciação da harmonia estética que se retira deste ensaio como uma verdadeira obra de arte cognitiva.

 

Introdução filosófica

A cultura dominante e a educação académica promovem, constantemente, um realismo empírico tendente a impor a imanência de uma ordem natural; por conseguinte nós, seres humanos, aceitamos facilmente uma ordem da natureza, porém, desconhecemos a natureza da ordem. A omnipresença da ordem parece irrenunciável, porém, desconhecemos se esta transcende o ser humano que a contempla. Será a ordem imanente ao objecto observado que se impõe ao observador? Pelo contrário; será o construtivismo do sujeito observador que cria a ordem? Será a ordem um produto dualístico da interacção entre o sujeito observador e o objecto observado? Tendencialmente, reconhece-se a origem essencial da ordem como indissociavelmente ligada ao construtivismo humano; por exemplo: sendo o alfabeto um produto próprio do construtivismo humano, pois, a sua sequência ordenada unidireccional permite localizar uma letra na sua posição sequencial; por outro lado, generalizando, em ciclos de repetição bidireccional, tornam-se necessários dois elementos para localizar um terceiro. Apesar de toda a criatividade filosófica, pois, neste ensaio basta tão-somente, conceptualizar a existência da ordem como aquilo que permite localizar uma posição.

As sucessões e sequências ordenadas constituem padrões de repetição sobejamente abordados pela matemática finita ou discreta, porém, esta matemática baseia todos os seus fundamentos na ordem sequencial dos números naturais; efectivamente, é a partir deste conjunto numérico que, por indexação, se conhecem e retiram todos os termos sucessivos das sequências algébricas. A sequência dos números naturais resulta da recorrência ordenada que sucessivamente acrescenta mais uma unidade ao termo sequencial anterior; também, a sequência dos números reais (análise funcional) com as teorias da continuidade e limites de funções, aponta para o acrescento sucessivo de um fragmento unitário recursiva e sucessivamente dividido (até ao infinito) pela respectiva base numérica decimal, ou qualquer outra base numérica que fosse considerada, configurando uma continuidade descontínua ou uma descontínua continuidade que, paradoxalmente, permite, sempre e sucessivamente, o acrescento recursivo de mais uma fronteira, e outra, e outra, … a confrontar o espaço entre a fronteira anterior e o espaço que a limita; por conseguinte, em teoria dos números, parece racionalmente legítimo considerar, também, o número: não apenas como um ponto ou linha fronteiriça, mas sim como um intervalo diferencial que interliga a matemática discreta com a continuidade numérica. Obviamente, na actual teoria dos números, pois, o intervalo entre os números não é sempre igual; aliás, pelo contrário, parece mais racional considerar o intervalo entre os números sempre diferente, sempre desigual: esta desigualdade intervalar, inter-numérica, torna-se manifestamente patente na irregularidade natural e inteira dos números primos. A irregularidade dos números primos foi ultrapassada com os números racionais e respectiva regularidade das dízimas infinitas periódicas; por outro lado, a irregularidade das dízimas infinitas não periódicas associada aos números irracionais suscita novos problemas, novas interrogações matemáticas que se tentam resolver pela classificação dos números irracionais em algébricos e transcendentes, numa coerência lógico – racional proporcionada pelo corpo dos números complexos; contudo, tratando-se de uma criatividade imaginária, de uma autêntica produção humana, de uma ordem produzida pela representatividade linguística dos números complexos, pois, será de maior harmonia promover qualquer representação numérica como a potência fraccionária de um número fraccionário: um número potencial cuja base é uma razão (ou fracção) e cujo expoente também é uma razão (ou fracção) de tal modo que se possa afirmar categoricamente toda a representatividade numérica como o corpo dos números racionais elevado (ou exposto) ao corpo dos números racionais.

A omnipresença da ordem, tanto na matemática quanto nas restantes interacções diferenciais da humanidade filosófica é, sempre, produzida pela repetição harmónica da proporcionalidade analógica, num construtivismo relacional entre a repetição de recorrências sucessivas e a substituição de confinantes limites terminológicos; contudo, no tempo presente, neste tempo em que a inteligência artificial vem substituir a repetição sucessiva da ordem construtiva; resta a criatividade humana, resta a imaginação criativa capaz de gerar concepções cognitivas que ultrapassam e transcendem a inteligência artificial, a inteligência da máquina; este pensamento, esta imaginação criativa humana gera a obra de arte, a arte do pensamento; é esta arte cognitiva que este ensaio filosófico – matemático procura traduzir: o pensamento como arte! a arte do pensamento!   

 

Introdução ao método das diferenças finitas

A terminologia matemática “diferenças finitas” constitui uma redundância filosófica, efectivamente, qualquer definição é, por necessidade intrínseca, finita. Paradoxalmente, se a diferença não fosse finita, teria de ser sempre igual e, … sempre igual, … não seria diferente! Contudo, …

Designa-se a identidade ∆ por operador diferença.

O operador diferença (∆) pode interagir com outros operadores matemáticos como os operadores aritméticos de soma, subtracção, multiplicação ou divisão.

Constata-se que a subtracção não assume a propriedade comutativa, por conseguinte, conclui-se que a subtracção pode traduzir uma diferença, porém, a diferença não é apenas uma subtracção.

Para qualquer sequência Un define-se: ∆hUn = Un+h - Un notar que h pode assumir valores constantes ou variáveis sendo considerado como o espaçamento, passo ou a etapa de avanço ou recuo conforme assume valor positivo ou negativo; normalmente o valor assumido é: h = 1 pelo que este se omite e a expressão fica: ∆Un = Un+1 - Un sendo que o operador de diferença finita por ordem ascendente se calcula assim:

 Ordem zero: ∆0Un = Un

 Ordem primeira: ∆1Un = ∆0Un+1 - ∆0Un

 Ordem segunda: ∆2Un = ∆1Un+1 - ∆1Un

             … … …

 Ordem enésima: ∆mUn = ∆m-1Un+1 - ∆m-1Un

Portanto, a sucessiva recorrência da diferença entre diferenças sucessivas traduz a ordem do operador de diferença.

Mais, sabemos que numa progressão aritmética de números naturais, a razão é constante; sabemos também que, numa progressão aritmética, adicionando a razão a um termo se obtêm precisamente o termo ascendente que se sucede:

 Un = Un-1 + r (razão); logo, Un+1 = Un + r = Un-1 + 2r; este tipo de raciocínio permite encontrar o termo geral e, para uma determinada ordem do operador de diferença finita, ultrapassar a relação de recorrência.

Agora, usando recursivamente o operador de diferença finita, encontra-se a ordem da progressão aritmética, precisamente, quando a ordem deste operador de diferença tem como resultado uma constante.

Para a sequência Un quando a diferença de segunda ordem ∆2Un = ∆1Un+1 - ∆1Un = constante (tem como resultado uma constante), pois, diz-se que a sequência Un é uma progressão aritmética de primeira ordem. Por generalização, a ordem de uma progressão aritmética, encontra-se quando a ordem recursiva da diferença sucessiva tem como resultado uma constante: ∆mUn = ∆m-1Un+1 - ∆m-1Un = constante.

 

Considerando:

 ∆0Un = 1Un mas também ∆1Un = 1Un+1 - 1Un ou seja, sabendo que ∆Un = Un+1 - Un pois, então ∆2Un = ∆(∆Un) = ∆(Un+1 - Un) = ∆Un+1 - ∆Un =

 = Un+2 - Un+1 - ∆Un = Un+2 - Un+1 - Un+1 + Un = 1Un+2 - 2Un+1 + 1Un 

Mais: ∆3Un = ∆(∆2Un) =  ∆(Un+2 - 2Un+1 + Un) =  ∆Un+2 - 2∆Un+1 + ∆Un = Un+3 - Un+2 – 2(Un+2 - Un+1) + Un+1 - Un = Un+3 - Un+2 – 2Un+2 + 2Un+1 + Un+1 - Un = 1Un+3 - 3Un+2 + 3Un+1 - 1Un             

A continuação deste raciocínio permite concluir que conforme se avança sucessivamente na ordem do operador de diferença, pois, assim esse avanço corresponde ao avanço sucessivo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal. Por conseguinte, constata-se que a relação generalizada entre a ordem do operador de distância e a linha do triângulo de Pascal pode ser assim estabelecida:  

 ∆mUn = Σmk=0 (-1)k(mk) Un+m-k sendo que m corresponde ao número natural que define a posição ordenada da sequência na escala ordenada pelos números naturais. Trata-se, como que uma variação, da variação, da variação, … da posição da sequência que, recursivamente, varia na escala dos números naturais; assim:

 ∆0Un = Un não varia, não tem diferença, qualquer que seja o valor da sucessão, pois, esse valor não varia, mantém-se constante, ou seja, ∆0 consiste apenas no operador de diferenças finitas que define uma sequência; sequência que, por sua vez, está indexada à sucessão ordenada dos números naturais

 ∆1Un = trata-se da primeira variação (m=1), portanto, da primeira diferença. Efectivamente, quando se afirma que ∆1Un = Un+1 - Un pois o que está a variar é o índice que ordena a sucessão na escala ordenada dos números naturais; notar que a sucessão Un é definida recursivamente e o que variou desde ∆0 até ∆1 foi o valor do índice que a indexa, que a posiciona na escala ordenada dos números naturais; por isso se chama variação de primeira ordem. Por conseguinte, diz-se que o valor de m = variação da posição da sequência na escala dos números naturais, o valor de n = variação da própria sequência; mas atenção, para se calcular o valor da própria sequência, em si, é necessário conhecer o termo ou fórmula geral que a define ou, então, ir variando recursivamente de termo até encontrar o termo que, finalmente, a concretiza num número constante.

 ∆2Un = ∆(∆Un) = a variação da posição da sequência na escala ordenada dos números naturais varia novamente e, por isso, se chama variação de segunda ordem (m =2).  

Em cada nível ou número de ordem de variação (m), portanto, ordem 0, 1, 2, …m; pode existir uma variação da sequência que é, ou não, constante: Quando a sequência varia de forma constante, pois, estamos perante uma progressão aritmética cuja razão é igual ao valor dessa constante e cuja ordem é dada pela ordem do respectivo operador de diferença finita.

Mais, em cada nível ou número de ordem de variação (m) a variação recursiva da sequência (Un) segue a ordem de distribuição das combinações simples ao longo da respectiva linha (m) do triângulo aritmético ou de Pascal, assim:

 mUn = Σmk=0 (-1)k(mk) Un+m-k  sendo k = variação das colunas ao longo da linha (m) do triangulo de Pascal.

 

Breve sinopse histórica das diferenças finitas

Compreende-se que uma simples identificação da diferença surge, sempre, no momento da escolha; no momento em que a comparação, como um dos raciocínios cognitivos, se torna imprescindivelmente fundamental para a tomada de decisão. Ao longo do desenvolvimento filogenético da humanidade, quando o homem sabendo distinguir a diferença, também a conseguiu isolar dos restantes objectos da comparação, pois, tratou de a quantificar; ou seja, tratou de isolar e quantificar a variabilidade entre objectos e padrões comparativos. Todas as civilizações, todas as culturas, todas as sociedades primitivas têm resíduos históricos das diferenças finitas como resultado da aplicação do método analógico comparativo num raciocínio estruturado. Quando Heraclito, no seu raciocínio dialéctico, constatou a mudança permanente do mundo, a eterna variação, o eterno devir, pois, presumiu-se necessariamente, a variabilidade da realidade observável e, por conseguinte, a diferença finita entre realidades distintas; efectivamente, se tudo fosse homogéneo, se tudo fosse igual, digamos, numa igualdade infinita, pois, seria impossível constatar alteração, seria impossível constatar mudança, seria impossível constatar a variabilidade entre objectos distintos; por outro lado, Zenão, em oposição ao devir de Heraclito, argumentava contra a mudança e o movimento através de paradoxos ardilosamente construídos. O paradoxo de Zenão entre Aquiles e a tartaruga, manifesta claramente uma tentativa de quantificar, matematicamente, a variabilidade de diferenças finitas numa sucessão, ou sequência, de recorrências entre distâncias já percorridas e distâncias a percorrer.

Ao longo da história das ciências, a matemática das diferenças finitas teve uma evolução lenta com períodos de grande estagnação, contudo, Newton e Leibniz ao trabalharem com diferenças finitas mas tendencialmente cada vez mais pequenas acabaram por desenvolver o cálculo diferencial e integral numa correlação entre a matemática discreta das sequências de números naturais e a continuidade dos números reais em análise infinitesimal de funções reais de variável real.

 

História da fórmula de Patrício Leite

Por analogia comparativa com a teoria da relatividade restrita, cuja velocidade da luz se assume como constante máxima, absoluta e finita; pois, também, Patrício Teixeira Leite, procurou uma densidade máxima, constante e absoluta. Se a velocidade constante máxima da luz promovia, através do fotão, como partícula fundamental, a unidade do espaço - tempo com necessidade de uma quarta dimensão num espaço linear; pois, também, a densidade máxima e constante do universo, através do densitrão, como partícula fundamental, iria promover a unidade da massa – volume com necessidade de uma quinta dimensão num espaço volumétrico. A coerência do raciocínio analógico estava perfeita, porém, tornava-se necessário dar consistência matemática ao densitrão. A velocidade e a densidade são grandezas derivadas que resultam de um gradiente fraccionário de variação incremental. As diferenças finitas constituem os fundamentos matemáticos da variação incremental; também, a fórmula que relaciona a massa com a energia, assume o valor quadrático da velocidade da luz; neste contexto, Patrício Leite realizou, empiricamente, cálculos mentais com diferenças sucessivas de números potenciais com expoente 2 (dois) e base sucessivamente crescente dos números naturais: na segunda série destas sequências de diferenças encontrou o número dois; repetiu, então, o mesmo procedimento para números potenciais de expoente três e na terceira série de diferenças sucessivas encontrou o número 6; continuando o procedimento acabou por concluir que repetindo as séries de sequências de diferenças em número igual ao expoente das potências, pois, iria encontrar o factorial desse expoente. Pensou que tinha conseguido acabar com a imperatividade da recorrência factorial por transformação no correspondente polinómio, porém, posteriormente verificou que se tratava apenas de substituir uma recorrência por outras; efectivamente, com a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n

(sendo que a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal); pois, a recorrência factorial é substituída pela recorrência de números potenciais (cuja base é sucessivamente decrescente) que multiplica sucessivamente pela recorrência algorítmica do triângulo aritmético.

Numa primeira etapa, decidiu traduzir esta relação fundamental na seguinte fórmula:

 n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n posteriormente, através de pensamento criativo, empírico e paralelo, ou lateral, decidiu transformar o valor 1 num qualquer valor z assim:

 n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n           

 

Objectivo introdutório

O presente ensaio tem por objectivos a ampliação e compreensão da fórmula de Patrício Leite no desenvolvimento do actual contexto histórico e filosófico do pensamento matemático e científico. Efectivamente, a referida fórmula e a sua história, sobre o modo como Patrício Leite a descobriu, já estão publicadas e divulgadas; contudo, salienta-se que a continuidade produtiva de pensamento criativo do autor já conduziu à produção de aproximadamente 150 páginas, condensadas, em formato A4 e letra de tamanho 11, constituintes de uma pré-publicação com grandes avanços e desenvolvimento desta fórmula, mas ainda não divulgadas; porém, agora, neste simples ensaio de matemática criativa apenas se procura enquadrar a fórmula no desenvolvimento histórico das diferenças finitas em interacção indissociável com a história da matemática combinatória, das probabilidades e estatística, do cálculo aritmético, algébrico e geométrico, da análise matemática e do cálculo diferencial, integral e infinitesimal, … enfim, … da ligação paradoxal, matemático – filosófica, entre a continuidade e a descontinuidade, a estabilidade e a mudança, o finito e o infinito, a igualdade e a diferença, … num dualismo reducionista, típico do pensamento científico e cultural dos nossos tempos.

 

Desenvolvimento conceptual

A matemática da antiguidade desenvolveu a cognição conceptual das sucessivas diferenças finitas numa perspectiva discreta, finita, dos números naturais e inteiros, das sequências ou sucessões e progressões aritméticas e geométricas; o desenvolvimento prosseguiu pela idade média até encontrar a continuidade infinitesimal dos números reais na Europa da idade moderna e contemporânea; porém, enquanto as sequências ou sucessões se centravam no conceito linear monodimensional e discreto da ordem sequencial dos termos da sucessão, pois, a análise infinitesimal passou a focar-se na continuidade da correspondência bidimensional entre variáveis dependentes e independentes cuja representação gráfica se efectua no plano cartesiano. Com a análise funcional, os limites das sucessões de números naturais e inteiros transformaram-se nos limites das funções reais de variável real numa tendência de continuidade infinitesimal que, num ponto específico de uma curva determinará, no contexto histórico da matemática, o coeficiente angular da recta tangente como declive e derivada dessa função linear e, pela respectiva função inversa, a primitiva, que quando definida entre valores concretos irá constituir uma integral que delimita a respectiva área.

As séries infinitas de sequências, traduzidas por somatórios de diferenças finitas, inspiraram a série polinomial de Newton e, ligeiramente mais tarde, a série de Stirling no entanto, entenda-se: é através das partições de conjuntos, melhor, do número de maneiras de particionar um conjunto de m elementos em n conjuntos não vazios, que se exprimem os números de Stirling do segundo tipo, assim denotados: S(m,n).

Repare-se, agora, atentamente, que um conjunto de m elementos, só tem uma maneira de ser particionado em um único subconjunto, mas também só tem uma maneira de ser particionado em m subconjuntos; por conseguinte, na denotação aqui adoptada: S(m,n), pois, n = 1 ou então, m = n, assim: S(n,1) = S(m,m) = S(n,n) = 1.

Nestas condições, a fórmula explícita para os números de Stirling do segundo tipo, assim definida S(m,n) = 1/n!(Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)m) quando assume os valores:

S(n,1) = S(m,m) = S(n,n) = 1 fica assim transformada: 1 = 1/n!(Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)n) ou seja: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n-k)n que corresponde precisamente à fórmula de Patrício Leite quando z = 0 assim: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n.        

O desenvolvimento cognitivo histórico do pensamento matemático, avançou da conceptualização discreta e descontínua das diferenças finitas, numa perspectiva linear euclidiana monodimensional, para a representatividade bidimensional do plano cartesiano numa continuidade proporcionada pela análise funcional, infinitesimal, das derivadas. Pensadores, como Stirling, promoveram avanços significativos na interligação entre as diferenças finitas, os factoriais, as permutações e a análise combinatória: os números de Stirling do primeiro e segundo tipo constituem exemplos típicos desta ligação à combinatória; no entanto, saliente-se, a fórmula expressa dos números de Stirling de segundo tipo é muito diferente da fórmula de Patrício Leite; efectivamente, basta reparar cuidadosamente para verificar as diferenças; aliás, a fórmula de Stirling apenas assume valores coincidentes com a de Patrício Leite num único caso muito particular e muito concreto, seja: S(n,1) = S(m,m) = S(n,n) = 1 da fórmula de Stirling e, concomitantemente, z = 0 na fórmula de Patrício Leite.

Surge, agora, uma nova conceptualização do pensamento matemático; efectivamente, já ultrapassamos a perspectiva monodimensional das razões aritméticas e geométricas cuja constância transforma as sequências ou sucessões nas respectivas progressões aritméticas e geométricas; também já ultrapassamos a noção de coeficiente angular da recta tangente como declive e derivada dessa função linear cuja constância, no limite, confere continuidade a essa função representada no plano bidimensional; porém, agora sim, agora, avançamos para novas conceptualizações, novas ideias, novos conceitos matemáticos que através da periodicidade verificada para os filamentos, segmentos ou fragmentos, associados ao valor periódico z acrescentam, com a fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, uma outra dimensão qualitativa caracterizada pela curvatura dimensional simultaneamente indissociável, das restantes dimensões. Efectivamente, na evolução histórica do pensamento, primeiro surge uma simples sequência ordenada dos números naturais e inteiros numa recta euclidiana unidimensional; depois surge o ângulo recto que permite um plano cartesiano, bidimensional, limitado por duas rectas perpendiculares formando, assim, a origem dos eixos das abcissas e ordenadas. O espaço tridimensional assim como todos os restantes espaços vectoriais de dimensão infinita, são apenas objectos de uma álgebra linear caracterizada pela variação quantitativa do número de dimensões qualitativas, até aqui axiomaticamente definidas como, apenas, rectas e ângulos. Ainda que a dimensão vectorial infinita fosse representada por funções, pois, a análise matemática desses espaços funcionais revelaria uma topologia que apenas permitiria a noção de proximidade e continuidade como limites ou derivadas dessas funções. As derivadas e primitivas são funções inversas; a derivação e a primitivação sucessivas constituem novas funções ou aplicações que, numa perspectiva meta - analítica funcional, transformam um domínio: o domínio de todas as derivadas, num contra – domínio: o contra - domínio das primitivas; obviamente, o pensamento inverso, também, validamente, se verifica. O valor periódico repetitivo de z, que se verifica, bem patente, na fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, vai mais longe; efectivamente, a constante ou variável z, assume uma periodicidade repetitiva angular mas também, em indissociável simultaneidade dualística, uma sucessão ou sequência ordenada finita a impor um novo axioma; um axioma dimensional qualitativo que configura a filosofia matemática da ordem como um produto dualístico da interacção entre o sujeito observador e o objecto observado: como que rectas e curvas, linhas e ângulos, se conjugam num dualismo indissociável; como que a linearidade recta e sequencial da ordem se curva sobre si própria num turbilhão turbilhonar angular em variabilidade mutacional, numa infinita e indeterminada continua descontinuidade cujo fim é determinado pela periódica repetitividade dos filamentos z; portanto, os filamentos, segmentos ou fragmentos z de Patrício Leite.

 

Sucessões e funções

Sucessões e funções têm muitas diferenças; no entanto têm, também, vários aspectos em comum. As sucessões podem ser consideradas um tipo específico de funções; efectivamente, as sucessões podem ser consideradas um tipo de função cujo domínio é o conjunto dos números naturais e o contradomínio o conjunto dos números reais. Mais, compreende-se que em matemática discreta existe um vazio entre dois quaisquer números seguidos; esta descontinuidade na sequência numérica, característica da matemática discreta, não se verifica na continuidade dos números reais; efectivamente, em qualquer sequência de números reais, pois, entre quaisquer dois números reais seguidos, pode-se sempre considerar uma infinitude de outros números reais; é esta discreta finitude realmente contínua, esta noção de que o infinito está contido, está dentro do finito, que proporciona a noção de continuidade tendencial dos números reais. Tanto em matemática discreta como em continuidade real pode-se, sempre, considerar a recorrência sucessiva como técnica ou regra para, recursivamente, encontrar termos gerais a partir de termos particulares sucessivos; por conseguinte, na continuidade deste ensaio cognitivo, filosófico matemático, sempre que tal não pareça relevante, pois, também se não especificará o conjunto numérico com que se está a trabalhar.     

 

Sucessão de diferenças

A definição de uma sucessão, por recorrência, reporta por indexação para a sequência dos números naturais. Neste contexto, também, a sucessão sequencial de diferenças finitas é mapeada, ou indexada, através do operador de diferenças ∆ cuja notação funcional é: ∆f(x) = f(x+1) – f(x). Quando, em notação de índice, o operador de diferenças ∆ é usado para indexar sequências surge: ∆Un = Un+1 - Un verificando-se que, conforme aqui já demonstrado, ao avançar sucessivamente no operador de diferença finita por ordem ascendente, pois, esse avanço sucessivo, na ordem do operador de diferença, corresponde ao avanço sucessivo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, cuja relação geral surge: ∆mUn = Σmk=0 (-1)k(mk) Un+m-k sendo que m traduz a ordem do operador da diferença finita, isto é, a respectiva ordem de diferença finita, contudo, repare-se, m traduz também a respectiva linha da ordem do triângulo aritmético ou de Pascal; por outro lado k corresponde à variação das colunas ao longo da linha m do triângulo de Pascal ficando a distribuição das combinações simples ordenada pelas linhas m e colunas k constituintes do triângulo aritmético.

 

Sucessão de diferenças e fórmula de Patrício Leite

Considerando a sequência de números potenciais assim definida: ∆0Un = 1nm com n indexado à sucessão dos números naturais vem, pelo uso do operador de diferenças ∆ a seguinte expressão: ∆1Un = Un+1 - Un = 1(n+1)m - 1nm repare-se que neste exemplo concreto o índice m do operador de diferenças ∆m é igual a 1; portanto, aqui, m = 1 nestas condições, diz-se tratar-se de uma diferença de primeira ordem.

Continuando, para uma diferença de segunda ordem:

 ∆2Un = (∆)∆1U n = ∆(n+1)m - ∆nm = (n+2)m - (n+1)m - (n+1)m + nm = 1(n+2)m - 2(n+1)m + 1nm        Agora, para uma diferença de terceira ordem:

  ∆3Un = (∆)∆2U n = ∆(n+2)m - 2∆(n+1)m + ∆nm =  (n+3)m - (n+2)m - 2∆(n+1)m + (n+1)m - nm  = (n+3)m - (n+2)m – 2[(n+2)m - (n+1)m] + (n+1)m - nm = (n+3)m - (n+2)m – 2(n+2)m + 2(n+1)m + (n+1)m - nm = 1(n+3)m - 3(n+2)m + 3(n+1)m - 1nm      

Antes, já aqui se tinha verificado que as diferenças finitas, aplicadas sucessivamente a qualquer sucessão indexada aos números naturais, pois, de acordo com a ordem da diferença, assim produziam os sucessivos números de combinações simples da respectiva linha do triângulo aritmético. Obviamente, para uma sucessão de números potenciais: nm, conforme agora definido, pois, também se verifica como resultado a sequência de combinações simples associada com a respectiva linha do triângulo aritmético, porém, repare-se, o que determina o número da linha do triângulo de Pascal é a ordem da diferença finita.

Apesar de, notadamente, agora, se tratar de diferenças sucessivas de sequências de números potenciais e com isso gerar as combinações simples dispostas na linha do triângulo aritmético, pois, ainda estamos muito longe de alcançar o modo empírico como Patrício Teixeira Leite encontrou a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n. Reparemos que a aproximação comparativa com a relação fundamental de Patrício se torna possível, porém, numa primeira etapa é necessário igualar o valor do expoente da sequência de números potenciais com o valor da ordem da diferença finita; com esta etapa, com esta igualização, pois, já se obtêm o resultado encontrado na relação fundamental de Patrício. Por exemplo, se for considerada a sequência natural de números potenciais com expoente 3, assim: 13; 23; 33; …n3, considerando que o expoente é 3, pois, também, tanto usando a diferença finita de terceira ordem como usando o método da relação fundamental de Patrício, o resultado será sempre 3! = 3x2 = 6. Apesar da igualização de resultados, pois, a diferença utilizada no modo de os alcançar, em termos matemáticos da investigação operacional, torna o algoritmo diferente e, consequentemente, também diferente a optimização na tomada de decisão. Continuando a aproximação por analogia comparativa com a relação fundamental de Patrício e considerando que Un = nm, sendo que n traduz apenas o índice da sucessão dos números naturais, pois, por generalização e fazendo n = m, poderia ser encontrada a expressão: ∆mUn = a1(m+1)ma2mm + a3(m-1)ma4(m-2)m + a5(m-3)ma6(m-4)m + … ± … ± a11m no entanto repare-se que assim seria ultrapassada a forma recursiva ou recorrente da sucessão ∆Un = Un+1 - Un porém permaneceria a recorrência inerente ao triângulo aritmético. Mais, como esta generalização traduz a relação fundamental de Patrício, também se torna lógico que a partir dela se deduz a expansão mUn = m! = Σmk=0(mk)(-1)k(m+1-k)m  com Un = nm; considerando que n traduz apenas o índice da sucessão dos números naturais, pois, por conseguinte, torna-se possível localizar na sucessão dos números naturais, o início da respectiva sequência finita que traduz a igualdade representada nesta fórmula.

Quando na sucessão dos números naturais se consegue localizar o início e o fim da sequência finita, pois, se essa sequência finita adquire periodicidade repetitiva então a fórmula da relação fundamental de Patrício n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n pode ser transformada na fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n      

Obviamente que, nesta numa fórmula mais geral o valor periódico repetitivo de z, traduz a repetitividade periódica dos filamentos, segmentos ou fragmentos z de Patrício Leite.

 

Derivadas de funções

Considerando as sucessões como um tipo de função cujo domínio é o conjunto dos números naturais e o contradomínio o conjunto dos números reais, pois, também faz sentido utilizar a notação funcional para o operador de diferenças ∆ assim definido: ∆f(x) = f(x+1) – f(x); por outro lado, em funções reais de variável real, existe a noção de continuidade que não estava presente na matemática discreta dos números finitos. Foi a partir de diferenças finitas, cada vez menores, que Newton e Leibniz atingiram a continuidade infinitesimal do calculo diferencial. A derivada de uma função dá a continuidade dessa função no limite da sua diferenciação. A definição de derivada através dos limites de funções surge como uma razão, uma taxa de variação da função num limite de diferenças cada vez mais pequenas, ou seja; as diferenças da variável independente são cada vez mais pequenas numa tendência para zero e quando a função atingir o ponto do seu limite finito, diz-se que a função originou a sua derivada e por isso, nesse ponto, a função tem de continuar a existir, ou seja, a função é contínua nesse ponto finito do seu limite. A continuidade das funções reais de variável real surge com a proximidade infinita, com a contínua vizinhança, com uma proximidade tão infinitamente grande que a diferença infinitesimal entre dois números reais se aproxima mais do valor zero do que de qualquer outro número real diferente de zero; portanto, numa escala ordenada, infinitesimal é um valor maior do que zero e mais pequeno do que o menor dos números reais; considerando-se derivada como uma razão entre dois números infinitesimais.     

 

Derivadas de funções e fórmula de Patrício Leite

As funções polinomiais são um tipo específico de funções reais de variável real definidas a partir de polinómios cujo grau corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinómio. É ponto assente que as derivadas resultam, fundamentalmente, de diferenças, de um modo de diferenciação, pelo que a aplicação do operador de diferenças ∆ cuja notação funcional ∆f(x) = f(x+1) – f(x) permite, após a respectiva adaptação e lógica do raciocínio, deduzir facilmente regras de derivação que, quando aplicadas a polinómios dão a seguinte fórmula para a primeira derivada: df/dx = nxn-1. Para derivadas de ordem superior terá de se aplicar regras de derivação respeitantes a variáveis potenciais mas também a operações de multiplicação, adição e derivadas de constantes; por conseguinte, segunda derivada: d2f/dx2 = n(n-1)xn-2; terceira derivada d3f/dx3 = n(n-1)(n-2)xn-3; concluindo, a derivada de ordem n de uma função polinomial tem a seguinte regra geral: dnf/dxn = n(n-1)(n-2)… xn-n = n!

Surge agora a constatação de um padrão de repetição entre as já sobejamente expostas e explicadas sequências naturais de números potenciais com o mesmo expoente e respectivas subtracções sucessivas até atingir o factorial em conformidade com a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n que  foi traduzida inicialmente pela fórmula n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n e mais tarde transformada numa fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n, padrão de repetição este cujos resultados são exactamente iguais, conforme aqui verificado, aos das derivadas sucessivas, porquanto, o resultado, tanto da aplicação da fórmula de Patrício Leite quanto das derivadas sucessivas de funções polinomiais é, pois, igual ao factorial do valor do respectivo expoente, assim: dnf/dxn = n(n-1)(n-2)… xn-n = n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n.

Reconhecidamente, sabe-se que, ao trabalhar com sequências ou sucessões, pois, está-se a trabalhar no domínio da matemática discreta ou finita; aliás, as diferenças finitas reportam exactamente para essa finitude; por outro lado, quando se trabalha com limites de funções e respectivas derivadas, pois, está-se precisamente a caminhar para o limite da finitude e, por conseguinte, para o infinito; efectivamente, a continuidade do infinito tem inicio no fim do finito em conformidade com Newton e Leibniz e a utilização matemática das derivadas de funções, pois, iniciou-se o estudo funcional analítico da continuidade dos números reais. A fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n faz a ligação entre a matemática finita das sequencias ou sucessões e a matemática da continuidade própria da analise funcional; nesta fórmula o valor periódico repetitivo de z, traduz a repetitividade periódica dos filamentos, segmentos ou fragmentos z de Patrício Leite. Notar que estes fragmentos podem corresponder, apenas, ao inicio e fim da sequencia natural de números potenciais que, sempre com o mesmo expoente vão, por operações de sucessivas diferenças finitas, cuja subtracção se opera até atingir a diferença finita da ordem desse expoente, ter como resultado final um valor igual ao factorial desse respectivo expoente; assumindo assim, unicamente, a natureza inteira dos números finitos; no entanto estes fragmentos z de Patrício Leite podem, também, assumir a racionalidade fraccionária das dízimas infinitas periódicas; mais, podem assumir a irracionalidade real das dízimas infinitas não periódicas, a imaginação dos números complexos ou, por assim dizer, qualquer expressão numérica que, em última instância, seja introduzida pela teoria dos números. Efectivamente, os fragmentos z para, inseridos na fórmula de Patrício Leite assumirem plena validade, apenas precisam de respeitar as regras fundamentais das operações aritméticas: soma e multiplicação assim como das respectivas operações inversas de subtracção e divisão.

 

Triângularidade das sequências, funções e fórmula de Patrício Leite

Quando, desde finais do século XX, os matemáticos começaram a aceitar, consensualmente, a definição de matemática como a ciência das regularidades ou padrões, pois, por inerente racionalidade filosófica ficaram implicitamente associados com a conceptualização da matemática como a ciência das regras e dos padrões, portanto, a ciência da repetição; efectivamente a actividade matemática procura identificar e relacionar repetições: aspectos repetitivos como são as regras ou padrões que podem ter carácter meramente abstracto, meramente mental mas, também, encarados como representatividade do mundo material. Abstractamente, o triângulo configura o fenómeno, a essência fundamental, a condição sine qua non, para a matemática como ciência da repetição, para a manifestação de regras ou padrões; efectivamente, as três partes constitutivas do triângulo configuram a mínima diferenciação capaz de proporcionar padrões, regras ou regularidades que permitem o desenvolvimento da actividade matemática. O dualismo é, per se, a essência da diferenciação; a repetição do dualismo forma o triângulo; o triângulo permite a formação de regras ou repetições e estas permitem a actividade matemática. Através do princípio aditivo e multiplicativo estabelecem-se os fundamentos da análise combinatória: o princípio aditivo permite as combinações que não implicam a existência de ordem; por outro lado, o princípio multiplicativo permite os arranjos que significam, necessariamente, relações de ordem; as permutações implicam no arranjo de todos os elementos do conjunto e, por conseguinte, constituem a maior ordem diferencial em matemática combinatória.

Em qualquer sequência ou sucessão, a recorrência repetitiva das respectivas diferenças finitas sequenciais, em cumprimento do princípio aditivo, origina os coeficientes binomiais, integrados como combinações simples no triângulo aritmético; o triângulo de Pascal é um algoritmo de recorrências geradoras das combinações simples dispostas ordenadamente numa forma triangular. Se as sequências de sucessões, ou seja, as sequências recursivas de diferenças sucessivas utilizando o operador de diferenças (∆), produzem sempre os coeficientes binomiais ou combinações simples, pois, quando essas sequências de diferenças sucessivas dizem estritamente respeito a sucessões de números potenciais, os resultados não são apenas as combinações simples integradas na disposição do triângulo de Pascal mas também a fórmula de Patrício Leite; efectivamente, sabe-se que a ordem nasce da recorrência do princípio multiplicativo. Em qualquer expressão potencial, o expoente exprime o número de vezes que a multiplicação da base se repete; o expoente dessa potência traduz o nível ou grau da respectiva ordem. No algoritmo do triângulo de Pascal, a ordem imanente, inerente ao número da respectiva linha deste triângulo, correspondente ao modo de distribuição dos coeficientes binomiais ou combinações simples ao longo dessa linha e tem, exactamente, correspondência igual e directa com a ordem do respectivo operador de diferença finita. Quando não se trata de uma qualquer sequencia ou sucessão mas sim e especificamente da sequência natural de números potenciais, assim definida: Un = nm com n indexado à sucessão dos números naturais, e sendo m um qualquer expoente numérico; pois, o resultado não se traduz apenas pelos coeficientes binomiais ou combinações simples mas também na relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n (sendo que a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal); relação esta, que pode ser traduzida pela fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n.

Como aqui foi descrito, a partir de uma vasta imensidão de categorias de sucessões foi possível isolar aquelas que traduzem a relação fundamental de Patrício, pois também, agora, por semelhança e analogia metodológica, torna-se possível, de entre as vastas categorias de funções isolar aquelas que podem traduzir o mesmo resultado; efectivamente, entre as várias categorias de funções, pois, as funções polinomiais, por derivação sucessiva, originam como resultado de última instância o mesmo factorial correspondente ao resultado da relação fundamental de Patrício. Efectivamente, a ordem ou grau do polinómio da função corresponde á ordem da derivada cujo resultado é o respectivo factorial, assim:

Função polinomial de grau zero e derivada de ordem zero:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de grau zero tem como resultado o valor zero.

Exemplo: f(x) = x0 portanto d1f/dx0 = 0x0-0 = 0x1 = 0

Efectivamente uma função polinomial de grau zero é uma função invariável; é uma função constante, e uma função constante é uma função cuja variação é zero, por conseguinte a derivada de uma função constante reporta para a metodologia das diferenças finitas e, posteriormente, com Newton e Leibniz, a continuidade infinitesimal dos números reais cuja derivada de uma função, por definição, dá a constante continuidade dessa função no limite da sua diferenciação.    

 Função polinomial de primeiro grau e derivada de primeira ordem:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de primeiro grau tem como resultado o factorial: 1! = 1

Exemplo: f(x) = x1 + c sendo c uma constante; portanto d1f/dx1 = 1x1-1 = 1x1 = 1  

 Função polinomial de segundo grau e derivada de segunda ordem:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de segundo grau tem como resultado o factorial: 2! = 2x1 = 2

Exemplo: f(x) = x2 + c sendo c uma constante; portanto d2f/dx2 = 2x1 = 2  

Desenvolvendo:

   d1f/dx2 = 2x2-1 = 2x1

   d2f/dx2 = 2x1-1 = 2x1 = 2

 Função polinomial de terceiro grau e derivada de terceira ordem:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de terceiro grau tem como resultado o factorial: 3! = 3x2x1 = 6

Exemplo: f(x) = x3 + c sendo c uma constante; portanto d3f/dx3 = 3x2x1 = 6  

Desenvolvendo:

   d1f/dx3 = 3x3-1 = 3x2

   d2f/dx3 = 3x2x2-1 = 6x1

   d3f/dx3 = 3x2x1x1-1 = 6x1 = 6

Função polinomial de quarto grau e derivada de quarta ordem:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de quarto grau tem como resultado o factorial: 4! = 4x3x2x1 = 24

Exemplo: f(x) = x4 + c sendo c uma constante; portanto d4f/dx4 = 4x3x2x1 = 24  

Desenvolvendo:

   d1f/dx4 = 4x4-1 = 4x3

   d2f/dx4 = 4x3x3-1 = 12x2

   d3f/dx4 = 4x3x2x2-1 = 24x1

   d4f/dx4 = 4x3x2x1x1-1 = 24x1 = 24

               ………………………….

Função polinomial de enésimo grau e derivada de enésima ordem:

A derivação sucessiva de uma função polinomial de enésimo grau tem como resultado o factorial: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…3x2x1 = n!

f(x) = xn por conseguinte dnf/dxn = n(n-1)(n-2)… xn-n = n!

A sequência sucessiva de derivações de uma função constitui uma relação de recorrência; efectivamente encontrar apenas, uma única vez, uma função derivada a partir da função que a antecede na ordem de derivação, constitui simplesmente um modo de envolver a continuidade infinitesimal dos números reais; porém, encontrar sucessivamente a derivada da derivada constitui uma actividade recursiva a que, também, a derivação não conseguiu escapar; a derivação sucessiva, melhor, a sucessão de derivações, constitui uma actividade recursiva. Toda a metodologia implicada no desenvolvimento das diferenças finitas, quando aplicada a sucessões, derivadas, mas também na fórmula de Patrício Leite; toda esta metodologia, tem como fundamento a repetição do pensamento recursivo, das relações de recorrência; efectivamente, é da repetição, dos padrões de repetição, do pensamento e actividade repetitivos, próprios do construtivismo humano que, criativamente, aparece a essência da ordem. É a pureza da ordem matemática que este ensaio procura alcançar mas é também por essa pureza que se verifica a negação, o nada, o zero como valor final de toda a metodologia das diferenças finitas; toda a ordem matemática resultante da metodologia das diferenças finitas, converge para o zero como valor final: tanto nas sucessões como nas funções; efectivamente, a derivação sucessiva de uma função real de variável real do tipo polinomial converge para 0 (zero) como valor final, também a relação fundamental de Patrício Leite e a sua respectiva fórmula convergem para zero 0 = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n-1 obviamente que esta ordem nula, este anular da ordem diferencial, resulta de um desfasamento, de um desrespeito por parte do principio aditivo inerente ao triângulo de Pascal na sua relação com a ordem do principio multiplicativo inerente ao triângulo exponencial de Patrício.

 

Comparação entre sucessão de diferenças e sucessão de derivadas

Qualquer sucessão pode ser definida de modo recursivo; mais, uma sucessão de recorrências, especificamente, nas sucessões de diferenças, a recorrência sucessiva da sucessão sequencial de diferenças finitas é mapeada, ou indexada, através da notação funcional: ∆f(x) = f(x+1) – f(x) cujo operador de diferenças ∆, quando usado para indexar sequencias, toma a forma: ∆Un = Un+1 - Un.

Neste ensaio, já foi constatado que, para qualquer sucessão por indexação, o operador de diferenças gera as combinações simples e o modo como elas são distribuídas ao longo da linha do triângulo de Pascal, ou seja gera as colunas deste triângulo; por outro lado, a sucessão recursiva de diferenças, melhor, a sucessão recursiva de operadores de diferença, gera a ordem dos operadores de diferenças e esta ordem corresponde exatamente à linha do triângulo de Pascal; por conseguinte, constata-se aqui o funcionamento simultâneo do princípio aditivo e multiplicativo na construção do triângulo aritmético; mais, o princípio multiplicativo corresponde à ordem decorrente da repetição sucessiva, recorrente e recursiva. A norma é uma repetição determinística, é uma limitação ou restrição colocada ao grau de liberdade; em estatística, a normalidade da norma surge da maior frequência de repetição; em cálculo de números potenciais, o número de vezes que a multiplicação da base se repete dá o expoente do número potencial e este expoente corresponde à ordem. A diferença sucessiva de números potenciais sequenciais e a respetiva sucessão recursiva de diferenças dá a relação fundamental de Patrício, a partir desta relação avança-se para a fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n que faz a ligação entre a matemática discreta e a continuidade funcional dos números reais.

A continuidade dos números reais permite a definição de derivada através da noção de limite de funções; por conseguinte, a derivada de uma função surge no limite de uma sucessão de diferenças cujo operador de diferenças reporta a distâncias, ou diferenças, cada vez menores tendendo para o valor zero. Efetivamente a derivada surge como uma sucessão de diferenças finitas cada vez menores e tendendo para zero; porém, agora, avançando: e uma sucessão de derivadas? Qual o resultado de uma sucessão recorrente de derivadas?

Quando se abordam as funções polinomiais, pois, o resultado de uma sucessão recorrente de derivadas de funções polinomiais tem o valor zero como resultado final, porém, o valor da constante que imediatamente precede esse resultado final é, precisamente o factorial correspondente ao grau ou ordem do polinómio; portanto, é o valor do factorial do expoente do maior termo que origina a respectiva função polinomial; obviamente que em polinómios com mais de uma variável, o termo de maior grau, ou ordem, encontra-se pela soma dos valores dos expoentes das variáveis desse termo e a ultima constante encontrada, antes do valor zero, é precisamente o valor do respectivo factorial.

      Exemplo ilustrativo:

Considerem-se funções polinomiais ou polinómios cujos termos de maior grau são:

   considerando x4,  portanto, polinómio de ordem ou grau 4

   considerando agora x2y2,  portanto, polinómio de ordem ou grau 4         

   considerando agora x3y1,  portanto, polinómio de ordem ou grau 4 

Fazendo a derivação sucessiva, pois, torna-se fácil confirmar que em todas as situações o valor da quarta derivada é 24 ou seja factorial de 4 portanto = 4!

Desenvolvendo os cálculos:

   Termo de maior grau: x4 

   Primeira derivada: 4x3

   Segunda derivada: 4x3x2

   Terceira derivada: 4x3x2x1

   Quarta derivada: 4x3x2x1 = 4! = 24

 Considerando agora o termo de maior grau: x2y2

   Primeira derivada: 2x2y + 2y2x  

   Segunda derivada: 2x2 + 4yx + 2y2 + 4xy

   Terceira derivada: 4x + 4y + 4x + 4y + 4x + 4y

   Quarta derivada: 4 + 4 + 4 + 4 +4 + 4 = 4! = 24

Considerando agora o termo de maior grau: x3y1

   Primeira derivada: x3 + 3yx2  

   Segunda derivada: 3x2 + 3x2 + 6yx

   Terceira derivada: 6x + 6x + 6y + 6

   Quarta derivada: 6 + 6 + 6 + 6 = 4! = 24

Confirma-se, que numa função polinomial de grau 4, pois, a sua 4ª derivada é o factorial do seu grau ou ordem, portanto = 4!

Por generalização comparativa conclui-se que em funções polinomiais ou polinómios cujos termos de maior grau definem o grau ou ordem do polinómio, pois, o valor da derivação sucessiva e recorrente até alcançar o valor do grau do polinómio é precisamente igual ao valor do respectivo factorial.

 

Recorrência da ordem e ordem recorrente

A ordem do operador de diferença resulta, recursivamente, da recorrência de diferenças entre operadores de diferença. A recorrência de diferenças sucessivas entre operadores de diferença permite desenvolver, ordenadamente, o triângulo aritmético ou de Pascal assim: a ordem do operador de diferença corresponde ao valor da linha do triângulo e a respectiva disposição dos coeficientes dos operadores de diferença corresponde, precisamente, ao valor e disposição das respectivas colunas dessa linha do triângulo aritmético, ou seja, corresponde ao coeficiente binomial ou, em análise combinatória, combinações simples. Sendo a ordem do operador de diferenças igual ao valor da linha do triângulo de Pascal, pois, se esta ordem do operador de diferença for considerada como a ordem ou grau de um polinómio, então, a derivação sucessiva e recorrente desse polinómio, ou função polinomial, até atingir o valor do seu grau é igual ao factorial do valor dessa ordem. O factorial aparece aqui como uma derivada da derivação sucessiva e recorrente de uma função derivada; notar que não se trata da derivada da derivada, ou seja, não se trata da segunda derivada mas, por outro lado, considerando a derivação sucessiva como uma função, explicando, como a função derivação, pois, o factorial aparece como a derivada da função derivação. Efectivamente, o factorial corresponde à máxima ordem diferencial que se pode encontrar em matemática, esta ordem, em análise combinatória, tem a sua tradução nas permutações. O triângulo factorial de Patrício Leite organiza a recorrência dos números factoriais indexados á ordem recorrente dos números naturais e faz a correspondência com a ordem das linhas do triângulo de Pascal; porém, para a correspondência de valores exactos, torna-se necessário recorrer aos números potenciais ordenados no triângulo exponencial de Patrício cuja disposição tem as linhas ordenadas pela sequência natural dos expoentes e, em cada linha, as colunas estão ordenadas pela sequência natural das bases desses números potenciais. A relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n consiste, fundamentalmente, numa generalização de polinómios constituídos por termos com o mesmo grau; mais, este grau traduzido pelo valor do expoente também traduz o valor da linha do triângulo aritmético de Pascal mas também da linha do triângulo exponencial de Patrício e da linha do triângulo factorial de Patrício; obviamente traduz também o valor da ordem do operador de diferença finita e ainda da ordem da derivada dessa função polinomial cujo resultado é o factorial do grau do polinómio. A noção de grau de um polinómio como o grau do termo de maior grau que se obtém a partir da soma dos expoentes das suas variáveis, conduz o pensamento para, na matemática, a equação de continuidade e, na física, a lei de conservação, ambas relacionadas com as equações diferenciais parciais e respectivas derivadas parciais de cada uma das variáveis dessa função polinomial. Um polinómio ou função polinomial cujos termos estão dispostos por ordem naturalmente crescente do seu grau traduz a ordem crescente das linhas dos triângulos de Pascal e de Patrício. As derivadas parciais geram a noção de gradiente e de continuidade; o gradiente, cuja noção aponta para o cálculo vetorial, conjuga-se com a continuidade do infinito no conceito de grau de liberdade; por conseguinte, o grau de liberdade é o resultado da infinita liberdade, da continuidade homogénea, da desordem caótica sem regras ou repetições e capaz de gerar a aleatoriedade imprevisível menos, ou seja, subtraída da previsível finitude determinística da ordem, da discreta descontinuidade que gera o grau do gradiente em regras de repetição sucessiva e recorrente. Em álgebra, um sistema de equações lineares ou polinomiais é composto por incógnitas e regras de igualdade; cada incógnita acrescenta um grau de liberdade ao sistema mas cada regra de igualdade subtrai, ou restringe, um grau de liberdade. Os sistemas com mais incógnitas do que equações, ou regras, são considerados subdeterminados; sistemas com mais regras, ou equações, são considerados sistemas sobre determinados e, finalmente, sistemas com tantas equações como incógnitas são aqueles sistemas em equilíbrio cuja igualdade se iguala a si própria. A noção de derivada parcial de uma função polinomial disposta por ordem naturalmente crescente do grau dos respectivos termos desse polinómio, permite encontrar a linha dos triângulos de Pascal e de Patrício, a partir da linha encontra-se o número e disposição das respectivas colunas mas, importante, reportando sempre para a recorrência recursiva da análise combinatória; as derivadas parciais permitem as equações diferenciais parciais, cada uma destas equações constitui uma restrição ao grau de liberdade e quando o número destas equações iguala o número de incógnitas ou variáveis, pois, então, o sistema de equações diferenciais parciais tem solução; contudo, muito importante, salienta-se sempre a imperatividade recursiva da recorrência da ordem numa ordem recorrente. A recorrência da ordem numa ordem recorrente conduz o pensamento filosófico para, em última instancia, a analogia afirmativa: a ordem nasce da ordem! Obviamente que se toda a ordem nasce da ordem, pois, então, coloca-se o problema da origem da ordem; como que a causa prévia, póstuma ou qualquer outra, da ordem, está sempre encerrada em si própria numa infindável circularidade recursiva. A inequívoca conclusão racional de que toda a ordem nasce da ordem tem implicações imediatas na física da entropia, na teoria da expansão do universo, na teoria dos buracos negros etc. na teoria da vida, considerada como matéria altamente ordenada cuja vida nasce da vida, nas teorias da ordem social necessariamente dependente de seres humanos altamente ordenados, enfim, em todo o conhecimento humano: cultural, cientifico, filosófico etc. A tentativa de ultrapassar esta recorrência circular da recursividade da ordem, transporta para a noção de transcendência; a ordem surge como algo cuja compreensão transcende as estruturas cognitivas e racionais do ser humano.

 

Transcendência da ordem

A afirmação: a ordem nasce da ordem! - Significa a sua transcendência. Os problemas da complexidade relacionados com o tempo polinomial determinístico e não determinístico reportam, em ultima instância filosófica, para a dificuldade em ultrapassar esta transcendência cognitiva. É na diferença que se encontram os fundamentos fundamentais da teoria da ordem; obviamente a teoria da ordem é mais abrangente mas, sem diferença tudo seria igual, dominaria a infinita homogeneidade, no domínio da igualdade sem fim, nada poderia variar, sem variação diferencial finita recorrente e recursiva, pois, também, não existiria ordem; a variação recorrente é uma ordem recorrente que recorre recursivamente; na tentativa de ultrapassar a recursividade recorrente, surge a fórmula funcional de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n efectivamente, aceitar que a variável z possa assumir qualquer valor é, também, aceitar a ultrapassagem da recorrência da ordem.

Com as diferenças infinitesimais, surgiu a continuidade dos números reais; Newton e Leibniz descobriram e operaram, matematicamente, a continuidade real das diferenças infinitesimais para alcançar as derivadas como limites de funções; efectivamente, os limites ou derivadas de funções reais de variável real mostram a continuidade no domínio dos números reais, porém, não dos complexos; os números complexos abrangem um domínio de ordem mais extenso e superior ao dos reais e a derivação de funções com domínio exclusivamente imaginário, através de limites e derivadas, recorre necessariamente a subterfúgios; mais, a noção de números infinitesimais como números mais pequenos do que os números reais e maiores do que zero ou, por outro lado, os números superiores aos reais mas menores do que infinito, permitem definir conjuntos numéricos como os sub-reais e os supra-reais, que não se enquadram no domínio dos reais; também entre cada número real há uma infinidade de números infinitesimais que se não enquadram nos reais e cujas derivadas não se encontram através dos limites de funções reais. Surge agora uma nova definição de derivada: efectivamente, a fórmula de Patrício Leite: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n alarga e expande os conceitos de derivada e limite de funções de Newton e Leibniz ao exprimir uma continuidade plena através da sua variável z; esta variável, a variável z, pode assumir qualquer valor ou quantidade independentes da cardinalidade e ordinalidade do domínio numérico considerado, esta característica confere-lhe a propriedade paradoxal de plena continuidade descontínua; na história da sua descoberta, a fórmula surgiu com a procura deste tipo de propriedades paradoxais: continuidade descontínua, finitude infinita, limitação ilimitada, indeterminismo determinado, heterogeneidade homogénea, etc. que levou Patrício Leite a procurar dar consistência matemática ao densitrão; com esta fórmula, tal consistência foi, finalmente, conseguida. Com o densitrão como unidade de espaço volumétrico, massa e tempo, infinitamente extensível e infinitamente comprimível na quantificação da unidade anisotrópica massa-espaço-tempo, através da estrutura formal reológica turbilhonar, que turbilha numa continuidade descontinua, traduzida pela fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n e respectivas derivadas parciais, conjuntamente com outras fórmulas directamente implicadas, foi conseguido, finalmente, matematizar a teoria do densitrão como unidade divididamente indivisível.

A variável z, enquanto entidade matemática identitária, teve a sua origem histórica no modo empírico como Patrício Teixeira Leite descobriu esta fórmula: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n porém, constatando a periodicidade repetitiva de um segmento, filamento ou fragmento ordenado, pois, Patrício Leite imediatamente evoluiu para uma fórmula mais geral: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n. Obviamente que se a variável z pode assumir qualquer valor com n constante e correspondente à linha do triângulo de Pascal, pois, então: n + z = w, também pode assumir qualquer valor transformando, aqui e agora, a fórmula de Patrício Leite na seguinte expressão: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n.

A racionalidade cognitiva, enquanto trabalho criativo, significa, também, explicar compreensivelmente, uma das muitas interpretações possíveis do produto do seu trabalho; efetivamente, na recorrência recursiva da ordem sequencial, quando z = 1 pois, tal corresponde ao primeiro fragmento ou segmento de Patrício no conjunto dos números naturais; foi assim o primado da história da fórmula, porém com a sua evolução, foram encontradas outras estruturas formais: se agora for considerado que n + z = w = 0, pois então a fórmula toma a seguinte estrutura: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(-k)n.

O segmento ou fragmento zero, resultante de n + z = w = 0, significa que, para cada linha n do triângulo de Pascal, existe sempre um segmento zero que inicia com k = 0 e termina com k = n; porém, as características da ordem repetitiva, sempre igual e sempre diferente, patentes no segmento zero, originam uma sequência sucessiva destes segmentos que motivou a descoberta criadora original de Patrício Teixeira Leite para a criação e definição dos fragmentos ou segmentos de Patrício. Efectivamente, ao longo da história da matemática, foram encontradas várias fórmulas que através de somatórios de diferenças, conjugadas com números potenciais, resolvem a permutação factorial de um número natural, contudo, a repetição segmentar dos fragmentos de Patrício constitui uma descoberta criativa única e singular como tentativa de ultrapassar a recursividade da ordem, como tentativa impar de ultrapassar a transcendência da ordem. Surge, assim, a fórmula que se explica:

   n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n também se n + z = w, então n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n

O lado factorial desta igualdade está, para a matemática elementar, completamente esclarecido; também, no outro membro da equação, a componente dos coeficientes binomiais associados com as combinações e a sua disposição ao longo do triângulo de Pascal já são abundantemente estudados e conhecidos, contudo, salienta-se que neste triângulo aritmético a disposição das respectivas combinações ou coeficientes binomiais não surgem através do algoritmo clássico mas sim através do método das diferenças finitas; efetivamente, aqui, a disposição das combinações ou coeficientes binomiais, ao longo das linhas do triângulo de Pascal, obtém-se através de sequências de diferenças finitas constituídas pela sequência de diferenças entre números potenciais com o mesmo expoente e cujas bases estão dispostas pela ordem sequencial dos números naturais. Enquanto as sucessivas diferenças originam o triângulo de Pascal, pois, a disposição dos sucessivos números potenciais origina o triângulo exponencial de Patrício e a disposição dos sucessivos factoriais origina o triângulo factorial de Patrício; por conseguinte a fórmula de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n também se n + z = w, então n! = Σnk=0(nk)(-1)k(w-k)n representa algebricamente os três triângulos agora referidos.

Apesar de ambos os modos expressivos desta fórmula conduzirem, como resultado final aos mesmos valores numéricos, pois, cada uma destas formas expressivas tem diferentes interpretações e diferentes utilidades matemáticas; efectivamente, para o mesmo valor numérico das variáveis z e w existem diferentes correspondências com os respectivos fragmentos ou segmentos z e w mas também têm um sentido diferente e uma diferente interpretação e significado matemáticos. Por exemplo, numa interpretação vectorial, quando w = 0, pois, os valores do respectivo segmento de Patrício surgem, vectorialmente, dispostos pelo valor crescente de k; por oposição, quando z = 0, pois, os valores do respectivo segmento de Patrício surgem, vectorialmente, dispostos pelo valor decrescente de k com início no valor n; estes vectores têm também uma diferente posição relativa no triângulo exponencial de Patrício; obviamente que a disposição simétrica dos coeficientes binomiais, ou combinações simples, ao longo da linha do triângulo de Pascal conduz, nesta situação, ao mesmo resultado numérico final.

Uma descrição anatómica dos fragmentos ou segmentos de Patrício mostra que, independentemente do valor considerado para as variáveis z ou w; pois, numa mesma linha n do triângulo, cada segmento ou fragmento é constituído por n+1 elementos; esta constatação resulta do facto de k iniciar necessariamente no valor zero.


Considerando que as variáveis z e w podem assumir quaisquer valores: naturais, inteiros, racionais, reais, complexos ou quaisquer outros; pois, imediatamente se compreende que, em conformidade com a continuidade dos números reais, entre cada dois fragmentos ou segmentos de Patrício existe uma infinita infinidade e infinitude destes segmentos. Na permanente evolução histórica da matemática, a infinita infinidade das diferenças finitas conduziu à noção de continuidade e daqui aos limites de sucessões e funções e posteriormente as respectivas derivadas num avanço do cálculo infinitesimal com integrais, primitivas e derivadas e agora, aqui, também, com as permutações típicas da análise combinatória, consolida-se uma superior interligação entre essa continuidade e a descontinuidade da matemática.

A origem dos fragmentos ou segmentos de Patrício relaciona-se com a contínua repetição das diferenças finitas de números potenciais com o mesmo expoente e dispostos pela ordem natural das suas bases. Por exemplo, conforme a figura acima representada, na linha n = 3 do triângulo exponencial de Patrício: … 133-123-113-103-93-83-73-63-53-43-33-23-13 cada fragmento ou segmento é constituído por quatro elementos sendo, no conjunto dos números naturais, o primeiro segmento: 43-33-23-13 significando que neste segmento z = 1 traduzido pela fórmula de Patrício assim: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+1-k)n nesta fórmula: z =1; n=3; k=0; k=1; k=2; k=3; obviamente que se z =2 então surgirá o segundo segmento dos números naturais: 53-43-33-23 e a fórmula de Patrício assumirá: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+2-k)n. Efectivamente, torna-se importante anotar que cada um destes segmentos é traduzido pela seguinte expressão algébrica (n+z-k)n enquanto parte constituinte da fórmula de Patrício: n! = Σnk=0(nk)(-1)k(n+z-k)n. Continuando com os números naturais vem, agora, a imagem explicativa dos segmentos ou fragmentos de Patrício


Em conformidade com esta imagem figurativa, numa descrição funcional do triângulo das diferenças de Patrício, constata-se que com números potenciais de expoente 3, pois, são precisas três séries de diferenças sucessivas até atingir o respectivo factorial de três: 3!; mais, cada fragmento de Patrício, inicialmente é constituído por quatro elementos e  o número destes elementos vai diminuindo a cada série de diferenças; obviamente que a quarta série de diferenças, em comparação correspondente com a derivada de uma função constante do cálculo infinitesimal, origina o valor zero. Considerando que a variável z pode pertencer a qualquer conjunto numérico: naturais, inteiros, racionais, reais, complexos etc. pois, imediatamente se compreende que entre quaisquer dois fragmentos ou segmentos de Patrício existe um número destes segmentos superior ao conjunto infinito dos números reais. Por exemplo se z fosse variável real, pois, entre o segmento z=1 e o segmento z=2 existiriam outros infinitos segmentos z. Em termos da análise combinatória a ordem recorrente corresponde ao princípio multiplicativo aqui representado pelos expoentes dos números potenciais, esta ordem fundamenta a quantidade de séries de diferenças que por sua vez, através do princípio aditivo, originam os respectivos coeficientes binomiais ou combinações simples. A organização do triângulo de Pascal em termos de coeficientes binomiais e respectivas linhas e colunas mostra que para cada linha n, deste triângulo, existem 2n combinações simples: Σnk=0(nk) = 2n compreende-se, pois, que o somatório deste somatório até determinada linha n, dá o total de combinações simples do triangulo de Pascal até essa linha n; mais, o total de combinações do triângulo pode também ser representado por uma função polinomial organizada por grau ou ordem crescente e de acordo com a ordem crescente das linhas do triângulo de Pascal: x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + …+ xn; repare-se que para este polinómio representar corretamente o total das combinações simples ao longo do triângulo de Pascal, pois, o valor da base x = 2. Agora, tratando-se de uma função polinomial, podemos encontrar as derivadas superiores de ordem sucessivamente crescente: em cada linha n do triângulo de Pascal, verifica-se que o valor da derivada de ordem n da linha n do triângulo de Pascal é igual ao factorial n! dessa mesma linha n; contudo, assim como o cálculo de um factorial exige o cálculo de todos os valores que lhe sucedem, pois, também, o cálculo de uma derivada de ordem superior exige conhecer o valor das derivadas que a antecedem numa repetição continuada da recorrência da ordem que impossibilita a sua transcendência e confirmando, assim, a afirmação: a ordem nasce da ordem!

 

Síntese filosófica conclusiva

A mitologia cosmogónica grega para a origem da ordem cósmica aponta o Caos como deus primordial; com Eros aparece um princípio de ordem. A noção de que a ordem nasce da desordem foi sendo desenvolvida ao longo dos filósofos pré-socráticos e, posteriormente, daqueles que os sucederam. A teoria científica da cosmologia actualmente dominante, aponta o big-bang como o momento temporal da grande explosão a partir da qual um universo primitivamente muito denso e quente se começou a expandir e resfriar em continuada diluição expansiva. A teoria da expansão do universo, a partir do big-bang, significa, de acordo com o segundo princípio da termodinâmica aplicada a todo o universo como um sistema único e isolado, um aumento da sua entropia, traduzida analogicamente como um aumento da sua desordem; o aumento permanente e continuado da desordem do universo significa a inversão do princípio cosmogónico de que a ordem nasce da desordem para a aceitação do princípio cosmológico de que a desordem nasce da ordem. A antítese dialética assim desencadeada parece tender para uma síntese compensadora entre a teoria cosmogónica antiga e a atual teoria científica cosmológica; surge a teoria da complexidade segundo a qual se considera complexo todo o sistema cujos outputs da saída não são linearmente proporcionais aos inputs da entrada. Com a teoria da complexidade surgem as suas correlatas assentes em idênticos princípios mas pontualmente variadas; destas, a teoria da emergência aponta para a criação espontânea e o nascimento de padrões ordenados com origem nos sistemas complexos não lineares; criticamente, estas versões parciais da geração de padrões ordenados por variação da complexidade não linear apenas se assemelham com a teoria da geração espontânea da vida há muito abandonada pela comunidade científica, contudo, como sempre, têm os seus seguidores. Efetivamente, ainda que em sistemas complexos se gerem padrões nunca antes encontrados, também é verdade que os padrões resultantes da linearidade proporcional sempre têm acompanhado a exponencialidade não linear, inclusivamente factorial, em todos os seus aspectos: os padrões de ordem complexos e não lineares têm a sua origem ordenada em padrões de ordem linear e proporcional; analogicamente, quando uma ordem mais simples presente numa gatinha grávida origina uma ordem mais complexa formada pela sua ninhada de gatinhos que, além da semelhante complexidade biológica, também interagem entre si próprios e, coordenadamente, com o ambiente que os rodeia, pois, trata-se de um exemplo em que uma ordem mais complexa se origina de uma ordem mais simples; por conseguinte, torna-se difícil aceitar, simplesmente, a síntese dialética entre as velhas cosmogonias e as novas cosmologias; aliás, as fórmulas matemáticas exponenciais e factoriais, de natureza extraordinariamente complexa e o raciocínio matemático filosófico de Patrício Leite confirmaram a necessidade imperiosa de, perante qualquer novo padrão de repetição ser, sempre, necessária e suficiente, a existência de uma ordem prévia; por analogia com a vida: só a vida é capaz de gerar vida, também na ordem, só a ordem consegue gerar ordem: a ordem nasce da ordem! Obviamente, a filosofia da interrogação mantém-se: Porque existe ordem no universo? Porquê a ordem e não o caos? Porquê, no universo, existe repetição e não somente, sempre, tudo diferente? O fundamento filosófico da ordem está na analogia como estrutura cognitiva que capta a repetição; a ordem matemática aqui abordada foi, predominantemente, uma ordem recorrente ou recursiva - uma ordem que recorre a uma ordem pré existente - por vezes captou-se a ordem como simples repetição, outras vezes, quase se vislumbrou a ordem transcendente, contudo, confirmou-se: a ordem nasce da ordem!

Síntese pessoal

Este ensaio teve o seu início na 1ª semana de Fevereiro de 2023 e terminou na 2ª semana de Setembro de 2023. Foram concebidas, originadas, geradas e criadas novas ideias; foi verificada a sua coerência e consistência racional; para atingir a generalização indutiva destas ideias, novas e criativas, foram realizados exercícios práticos de confirmação numérica, foram realizados múltiplos e variados tipos de raciocínios; foram centenas de horas de dedicação em pensamento criativo: finalmente, cresceu a arte, nasceu a obra!                                                                                                                                                                                                                                                              Doutor Patrício Leite

                                                                                                            13 de Outubro de 2023

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