Uma constante científica

Desde muito cedo, na história da humanidade, o homem constatou que todo o ambiente, tudo aquilo que o rodeia, o próprio homem; tudo está em permanente mudança, está sempre a alterar-se, a mudar, a tornar-se diferente; é o devir de Heráclito. Perante a incompreensibilidade da mutabilidade ambiental, da totalidade da mudança, da alteração diferencial; o ser humano tornou-se inseguro pelo que procurou o desenvolvimento de constantes, se possível de constantes absolutas. Primeiro foram os pensamentos mágicos e religiosos com deuses imutáveis e absolutamente poderosos mas, com a evolução histórica e o consequente desenvolvimento científico, surgiram constantes máximas absolutas como a velocidade da luz no vazio ou a temperatura de zero graus absolutos, e tantas outras; constantes estas que o homem definiu no sentido de tentar prever e controlar a mudança. A ciência física procura explicar a realidade, mas precisa de definir imensas constantes para explicar a mutabilidade; parece que em física, a mutabilidade da mudança diferencial, se faz de modo constate, não aleatório; essa ausência de aleatoriedade permite a previsibilidade mas a constância da mudança, explicada pela ciência física, é criada e adequada pelo ser humano. A ciência, mais não é do que um modelo de explicação da realidade externa; as grandezas fundamentais como variáveis, e as constantes científicas, tomam vários tipos de proporções matemáticas que lhes permitem modelar, compreender e prever a realidade externa no sentido de proporcionar segurança ao ser humano. Face ao agrupamento de grandezas variáveis e constantes científicas, cada uma destas últimas poderia adoptar qualquer valor escolhido pelo ser humano pois, se os valores relativos das outras constantes fossem proporcional e equitativamente alterados e adequados, as relações quantitativas estabelecidas entre as grandezas e as constantes não se alterariam e a racionalidade do modelo cientifico continuaria a explicar e prever a mudança com igual exactidão proporcionando igual segurança ao ser humano. É neste contexto que entre as designadas grandezas fundamentais da física surge a constante de Avogadro, para a quantidade de matéria, cuja unidade do sistema internacional é a mole com o valor aproximado de 6,023 X 1023 embora a mole, enquanto unidade de uma grandeza fundamental, seja muito importante, o facto é que se lhe alterarmos o valor e simultaneamente efectuarmos as alterações correspondentes aos valores relativos das outras constantes e grandezas fundamentais, pois o resultado final do modelo científico permanecerá inalterado e válido na sua racionalidade e previsibilidade. Acontece que se definirmos a mole através de um factorial, pois o valor mais próximo é o factorial de 24 (ou seja24!) já que 24! = 6,204 X 1023 na realidade com este factorial como mole, todo o cálculo realizado em ciência física, seria facilitado mantendo as várias proporcionalidades e racionalidade do conhecimento científico; por outro lado, o facto de incluir as permutações ou factoriais, como entidades explicadoras da mudança diferencial, numa grandeza fundamental da física, iria não só permitir uma mais completa explicação da mutabilidade finita numa realidade finita como também acrescentar novos conhecimentos científicos capazes de proporcionar desenvolvimento e segurança ao ser humano.
         Doutor Patrício Leite, 14 de Março de 2017

Movimento e Ordem

Se toda a realidade existencial fosse una e homogénea, pois nada se poderia diferenciar. Se a realidade existencial fosse diversa mas estática, pois nada se poderia nomear, seria caótica, seria o caos. A realidade existencial é diversa e variável; a variabilidade diferencial da realidade existencial permite a ordem ou então, pelo contrário, é a ordem que permite a variabilidade diferencial da realidade existencial. Há pois uma dualidade intrínseca e inseparável entre a ordem e o movimento; a ordem e o movimento são como que as duas faces de uma moeda, as duas páginas da folha de uma planta, as duas metades simétricas de um ser vivo. A ordem e o movimento não obedecem à metodologia dialéctica com a sua tese, antítese e síntese que se manteria permanentemente na fase antitética; a ordem e movimento são uma realidade dualística intrinsecamente indissociável. O movimento mais não é do que a variação diferencial da realidade ambiental externa, mas essa variação diferencial não ocorre ao acaso, não ocorre por movimentos desordenados ou caóticos; no império da desordem reina a estática, nunca a dinâmica; o movimento, o dinamismo, enquanto realidade diferenciável pela variabilidade implica ou corresponde a uma ordem, uma forma de variabilidade ordenada. A máxima ordem que se pode encontrar, na totalidade da realidade existencial universal, é fornecida pelas permutações matemáticas; há pois uma ordem finita num universo finito. Na totalidade do universo, o número de variações, o número de distinções, o número de movimentos que se podem encontrar é finito e delimitado pela numeração das respectivas permutações matemáticas; mas as permutações são apenas distinções de variáveis ordenadas que promovem a noção de movimento. A liberdade associa-se com o movimento diferencial, por seu lado o movimento diferencial associa-se com a ordem, sem ordem não há movimento, portanto ordem e liberdade caminham conjuntamente, mas com a continuidade do movimento diferencial o grau de liberdade diminui, o movimento torna-se repetitivo, a liberdade termina portanto, a liberdade nunca pode ser um valor absoluto. Só um ente, uma entidade criadora, uma entidade organizativa criativa, como a vida que cria as suas crias; só a vida é capaz de organizar e criar ordem; só a vida, como entidade organizativa e expansiva, é capaz de criar ordem em prol do movimento e da liberdade. A vida é pois o único valor absoluto, mas é um valor absoluto dualista já que é constituída simultaneamente por um aspecto organizativo e outro expansivo, aspectos estes que, apesar de diferentes, se unem na dualidade.
           Doutor Patrício Leite, 20 de Fevereiro de 2017

Ordem e Caos na Teoria das Partes

Quando contemplamos a totalidade do universo, nosso conhecido, e imaginamos a infinitude da imensidão; quando pensamos na diversidade da vida na Terra, ou até, imaginamos outras formas de vida e de existência; pensamos na variabilidade. As ideias progressistas e as teorias evolucionistas acreditam que a mutabilidade não terá fim, que é possível uma mudança infinita, que a variabilidade infinita permite encontrar sempre algo diferente, que o passado não se repete, enfim, que o infinito predomina e controla o domínio do finito.
Uma análise mais minuciosa, uma reflexão mais profunda, demonstra que o infinito caótico coexiste com o finito ordenado; que na imensidão existe o caos constituído por infinitas partes separadas, porém, uma dessas partes é a ordem, uma ordem que organiza as partes restantes, uma ordem que organiza o caos. Na imensidão a ordem e a desordem coexistem mas a ordem organiza a desordem, organiza o caos. A organização do caos faz-se de modo finito por permutações que traduzem a máxima variabilidade distintiva que a ordem pode estabelecer.
As partes separadas na imensidão, podem-se combinar desordenadamente, podem-se arranjar de modo ordenado, numa quase organização, mas são as permutações que permitem relacionar as combinações com os arranjos numa máxima variabilidade distintiva finita.
A máxima ordem distintiva tem uma forma ou estrutura estável e repetitiva; a mutabilidade distintiva finita, organiza o caos através da repetição dos filamentos de Patrício, filamentos estes que resultam de uma função, de uma função universal que coloca um termo, que coloca um fim, que limita a variabilidade distintiva da diversidade. A ordem e o caos coexistem numa dualidade conflituante mas a organização do caos tem uma estrutura finita, a variabilidade do universo, a variabilidade de toda a existência, a variabilidade da totalidade do ser, tem expressão máxima nas permutações matemáticas. No domínio do caos existem partes separadas, partes que se não relacionam; no domínio da ordem as partes têm relações previsíveis: podem-se combinar numa quase ordem ou arranjar de forma ordenada mas a maior variabilidade da ordem distintiva ocorre nas permutações e estas, enquanto resultado de relações entre combinações e arranjos, constituem a maior ordem previsível e contável de variabilidade diferencial, ordem essa que se repete em filamentos finitos de arranjos ordenados. Na imensidão existem partes separadas, uma dessas partes é a vida; a vida é uma parte organizativa e expansiva que tem por finalidade a sua permanência; a vida, em íntima relação com os seres vivos, constitui a maior ordem ou organização que se pode imaginar, e tudo começa, ou termina, no ácido desoxirribonucleico (ADN). Os arranjos, as combinações e as mutações no código genético são a fonte da variabilidade e da diversidade, mas são finitas e limitadas, por isso, a totalidade da variabilidade e adaptabilidade da vida, como um todo, também é finita e limitada.
Doutor Patrício Leite, 15 de Janeiro de 2017

Filamentos de Patrício

INTRODUÇÃO
Através do trabalho com partições, princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie dados pela sua fórmula explícita, é possível deduzir uma fórmula de conversão entre somatórios e factoriais ou permutações: essa fórmula relaciona o somatório de combinações simples, dadas pelos coeficientes do binómio de Newton, que multiplicam por arranjos com repetição fazendo a igualdade com factoriais ou permutações.
Na realidade a fórmula relacionada com os números de Stirling de segunda espécie é apenas um caso particular de uma função bem mais geral: a função de Patrício.
Resumidamente, esta função foi encontrada quando, de maneira empírica, Patrício Leite começou por realizar sequências de sucessivas subtracções de números potenciais com o mesmo expoente mas ordenados pelos valores decrescentes, contíguos, das suas bases; as sucessivas subtracções foram realizadas até chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do respectivo expoente; a seguir realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao número da linha do referido triângulo. A generalização dos resultados encontrados foi designada relação fundamental de Patrício: nesta relação é estabelecida uma igualdade entre um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse factorial traduzida na relação fundamental de Patrício por: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal.
Finalmente esta relação foi generalizada e formalizada numa função, como se segue:

INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A interpretação da função de Patrício permite verificar, desde logo, que não se trata de uma verdadeira função zeta, no sentido tradicional, já que embora exista uma soma de infinitas potências, a variável (z) que pode ir até ao infinito, não se encontra no somatório nem no expoente mas, sim, na base dessas potências.
Por outro lado, a fórmula relacionada com o princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie que permite a conversão entre somatórios e factoriais ou permutações, mais não é do que a função de Patrício quando a variável z toma o valor zero.
Quem já interpretou os números de Stirling de segunda espécie na sua fórmula explícita, certamente terá contribuído para a interpretação da função de Patrício pelo que vou apenas transmitir algumas ideias sobre as implicações da variável z que, nesta função, entra na base da potência referente aos arranjos com repetição.
Na realidade, na função de Patrício, a expressão potencial correspondente aos arranjos completos, funciona como um agrupamento sequencial de arranjos completos que têm em comum o mesmo expoente, ou seja, a mesma classe de ordem dos arranjos.
O resultado da função de Patrício não se altera quando a variável z percorre qualquer um dos números mais o zero.
Chama-se filamento de Patrício a cada uma das sequências de agrupamentos de arranjos completos, resultantes de cada valor da variável z, previstos e necessariamente integrados na função de Patrício.
Na função de Patrício, a letra n tem em simultâneo correspondência com o factorial, o número da linha do triângulo de Pascal em relação com as combinações simples, o número da linha do triângulo de Patrício em relação com os arranjos completos assim como a respectiva classe de ordem desses arranjos; já a letra k tem em simultâneo, correspondência com o número da coluna do triângulo de Pascal em relação com as combinações simples, a alternância entre somas e subtracções e, na expressão algébrica relacionada com as sequências de arranjos completos, a manutenção da constância do tamanho dos filamentos de Patrício.
Na função de Patrício, a variável z pode percorrer todos os números, incluindo o zero até infinito e, na expressão algébrica relacionada com as sequências de arranjos completos, determina a posição do início e do fim de cada filamento de Patrício.
Considerando o significado já aqui atribuído às letras da função de Patrício, e que para todos os filamentos, k se inicia sempre com zero, é pois possível estabelecer uma designação geral para os filamentos de Patrício assim: z(n) 
O filamento número zero 0(n) da função de Patrício corresponde, ao grupo sequenciado de arranjos completos, quando a variável z toma o valor zero, ou seja, corresponde portanto à fórmula relacionada com o princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie que permite a conversão entre somatórios e factoriais.
O filamento número um 1(n) da função de Patrício corresponde à generalização traduzida na relação fundamental de Patrício.
Como os filamentos de Patrício podem, numa recta ordenada, percorrer todos os números, incluindo o zero até infinito; então eles, enquanto integrados na função de Patrício, têm implicações na teoria dos números.
Utilizando os filamentos de Patrício é possível efectuar novos arranjos, arranjos de filamentos, como que arranjos de arranjos (com e sem repetição), novas combinações, combinações de filamentos, como que combinações de combinações (com e sem repetição) novas permutações etc. pelo que, com estes filamentos, surge não só uma alteração na teoria dos números mas também a possibilidade de uma análise combinatória de segunda ordem; é ainda possível surgirem análises combinatórias de grau sucessivamente superior num prolongamento até ao infinito.
Como estes filamentos, enquanto integrados na respectiva função de Patrício, podem funcionar como números, então com eles também se podem realizar operações aritméticas, ou outras, desde que se tenha em atenção certas particularidades; por exemplo se for considerado o factorial de três (3!), então sempre em conjunto com a respectiva função, quando se soma quatro vezes o filamento de Patrício respectivo ( como seja 4x0(3) ou então 3x0(3) + 1x1(3) ou ainda 2x2(3) + 1x1(3) + 1x0(3) ou 4x3(3) ou … 4xz(3) ) obtém-se o factorial de quatro (4!) que pode se for traduzido pela designação atribuída aos filamentos z(4) portanto: 4xz(3) = z(4); com a técnica da filamentação podem ser obtidas fórmulas matemáticas que não só facilitam os cálculos da análise combinatória clássica como também fornecem novos conceitos e novos significados numa nova combinatória.
A filamentação permite estabelecer uma ponte, uma ligação de transição entre a matemática do finito ou discreta e a matemática do infinito.
 A filamentação pode ter várias aplicações práticas; por exemplo no campo do código genético na compreensão e localização das mutações genéticas de uma população, mas também na descoberta de palavras-chave em termos de segurança informática. Ficheiro Completo e Actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 30 de Dezembro de 2016

Generalização da Função zeta de Patrício

Em análise combinatória os arranjos com repetição assumem a forma de uma potência tipo (np), por outro lado os coeficientes do binómio de Newton correspondem às combinações simples, assim, a função zeta de Patrício, que agora vai aqui ser generalizada, traduz a igualdade de um factorial ou permutação numa sequência de multiplicações de combinações simples por vários arranjos com repetição.
Sabemos já que a seguinte igualdade se verifica:
Esta igualdade também se verifica para qualquer constante.

Agora por generalização, como se segue, substituindo o número 1 do coeficiente de Patrício, pela variável z, sendo z um número maior ou igual a zero, surge a generalização da função zeta de Patrício:


A aplicação da função zeta de Patrício a algoritmos informáticos diminui a segurança informática, por exemplo, na área da criptologia, já que facilita a descoberta de passwords.Ficheiro Completo e Actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 22 de Dezembro de 2016

Conversão recíproca entre produtórios e somatórios

A conversão recíproca entre somatórios e produtórios resulta da relação fundamental de Patrício, segundo a qual: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n com a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 sendo a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal. A partir desta relação fundamental são várias as fórmulas que se podem deduzir, entre as quais, o transformado de Patrício que permite a relação recíproca de conversão entre produtórios e somatórios. Neste transformado, o coeficiente binomial de Newton diz respeito aos respectivos números do triângulo de Pascal.

Saliente-se que o transformado de Patrício, como uma fórmula de conversão recíproca entre somatórios e produtórios, parece verificar-se apenas, quando o lado do produtório funciona como factorial, portanto, a expressão algébrica referente a k terá de percorrer todos os elementos naturais até n, por conseguinte, do lado do somatório também terá de se efectuar a soma desde K=0 até K=n; pelo que, nestas condições, são encontradas propriedades comuns a estas duas entidades. É o caso dos produtos e das somas envolvendo uma constante:

Outra propriedade ocorre quando ambos, produtório e somatório, envolvem a soma:


A propriedade que envolve a soma pode, sobre vários aspectos e determinadas condições, ser generalizada de formas diferentes:


Nesta generalização, entre outras, terá de se verificar a seguinte condição, 0 < K + X
A abordagem destas e das restantes propriedades, assim como das relações entre as duas entidades aqui descritas (produtórios e somatórios) requer um estudo mais cuidadoso, cujas demonstrações poderiam vir a proporcionar facilidade nos cálculos, inclusivamente computacionais, tentando ultrapassar o aspecto recursivo dos produtórios.
Entretanto, podem ser encontradas novas fórmulas e efectuados cálculos, como se segue:


Agora substituindo-se pelo transformado de Patrício, fica: 

Ao longo deste ensaio, não foram efectuados cálculos exaustivos nem as demonstrações de todas as relações aqui expostas, também se admite gralhas ou erros de escrita, no entanto a coerência de raciocínio mantém-se pelo que corrigindo os eventuais lapsos surgem algumas das fórmulas válidas e associadas ao transformado de Patrício, muitas outras se poderão desenvolver. Ficheiro completo e actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 15 de Dezembro de 2016