Desde os primórdios
da história da matemática que o número assume elevada relevância por se aceitar
que ele é capaz de estabelecer uma certa ordem ou quantidade. Esta é, uma falsa
crença. Na realidade, quando o
pastor primitivo contava as suas ovelhas, ele mais não fazia do que adicionar
uma, ás que já tinha contado antes; isto é, ele realizava uma operação
matemática conhecida por adição.
Quando actualmente
numa recta ordenada se colocam os números positivos à direita do zero e os
negativos à esquerda; está-se automáticamente a associar a cada número uma
operação matematica, isto é, a adição para os positivos e a subtracção para os
negativos.
Qualquer conceito ou
signo necessita de um significado e um significante. O significante é o elemento
externo que no caso do número é o simbolo numérico designado por algarismo; o
significado é o elemento interno ou imagem mental que no caso do número diz
respeito á ordem ou quantidade mentalmente representada. As operações
matemáticas estabelecem relações; axiomaticamente são essas relações que
provocam a imagem ou ordem numérica mental sem a qual as estruturas cognitivas
do ser humano, lhe impediriam o conceito de número. Desta ordem nasce uma
escala ordenada que resolve um padrão matemático. Na verdade conceber
um número, qualquer que seja, isolado ou dissociado de uma operação matemática
constitui um absurdo; é a operação matemática que lhe confere uma ordem ou
quantidade. O operador(operação matemática) e o operando(número) não podem, no
entendimento humano, existir separadamente.
A teoria dos números
tem, e terá sempre, de conceber este dupleto(operador e operando) como
necessáriamente indissociáveis à existência de um número. Uma entidade assim
constituida, por operador e operando, chama-se numereto.
Numereto é uma
entidade lata, geral e abrangente que envolve todas as operações matemáticas
conhecidas mais aquelas que é possivel conceber ou
imaginar.
Número é uma entidade
mais restrita que apenas resulta de uma ordem matemática imposta pela aplicação
da adição e subtracção. Quando a ordem
matemática é estabelecida pelas operações adição e subtracção temos um
subconjunto dos numeretos, designado por números.
No subconjunto dos
números, estes podem ser positivos ou negativos e têm correspondência directa e
biunivoca com os numeretos. Por exemplo ao número 3 corresponde o numereto +3;
ao número negativo -5 corresponde o numereto -5.
Em qualquer outra
operação matemática que imponha uma ordem ou quantidade, deixam de existir
números para, apenas existir numeretos.
Por exemplo se a
operação matemática que estabelece a ordem é a multiplicação ou divisão, então
os numeretos não têm qualquer correspondência com os números. Assim, o numereto,
vezes 3 (x3) ou o numereto, a
dividir por 5 (:5) não têm qualquer
correspondência com números.
Por preguiça mental,
ou simplificação do pensamento, o ser humano continua a dispor na recta
ordenada, apenas com base nas operações adição e subtracção; de tal ordem que se
um número não tem qualquer sinal de operação à sua esquerda, se presume que seja
o “+”.
Seria de grande
utilidade avançar para as operações multiplicação e divisão como forma de
ordenar numeretos; posteriormente ir generalizando ás restantes operações
matemáticas conhecidas e finalmente fazer o mesmo para toda e qualquer operação
matemática concebida ou imaginável.
A ordem, regra ou
padrão matemático é estabelecido pela associação entre o símbolo operacional e o
numeral e nunca por qualquer um deles em separado.
A visão anatómica da
álgebra revela sempre e em qualquer estrutura algébrica, um operador e um
operando.
Os matemáticos actuais trabalham com muitos operadores,
mas sempre os fazem depender das operaçōes tradicionais: adição,
subtracção, multiplicação e divisão.
Se, por exemplo, criar a seguinte relação ou operação matemática(#):
Para qualquer y,z pertencente a IR: y#z = zyz.
Então o simbolo “#” é o operador; “z e y” são operandos e “#z” assim como “y#” constituem numeretos. Como esta, podem ser criadas infinitas operações matemáticas, infinitos operadores, infinitos operandos, infinitos numeretos.
Para qualquer y,z pertencente a IR: y#z = zyz.
Então o simbolo “#” é o operador; “z e y” são operandos e “#z” assim como “y#” constituem numeretos. Como esta, podem ser criadas infinitas operações matemáticas, infinitos operadores, infinitos operandos, infinitos numeretos.
Por semelhança com as
propriedades associativa, comutativa e distributiva das operações matematicas:
adição, subtracção, multiplicação e divisão; também estas e várias outras
propriedades se poderão aplicar a toda e qualquer operação matemática
criada. Por semelhança com as
propriedades dos números, também essas e outras se poderão aplicar aos
numeretos. Com a utilização dos
numeretos, como um conjunto alargado que inclui os números; o conjunto dos operadores pode, por intermédio de funções criadas, no âmbito da análise matemática, ser transformado no conjunto dos operandos e os operandos em
operadores. Surge assim um vasto
campo investigacional da matemática pura e aplicada, cujo desenvolvimento
futuro, trará novos mundos à matemática.
A atitude dualista
aqui expressa, revela o modo fácil e expedito de gerar ideias abstratas
aplicadas à matemática.