Simetrias da matemática

As ciências naturais e humanas assentam em relações de simetria. No caso da matemática, as relações de simetria começam imediatamente a seguir aos números naturais; com a utilização do número zero e por simetria simples, como uma imagem num espelho, surgem os números inteiros. Os números inteiros giram em torno do zero como eixo de simetria já que dois números inteiros iguais mas de sinal contrário se anulam. Por extrapolação até ao infinito, a soma da totalidade dos números inteiros é nula, portanto igual a zero.
A seguir surge o conceito dos números racionais que giram em torno do número um como eixo de simetria inversa. Qualquer número racional é constituído por uma fracção com um numerador e um denominador e pela inversão transforma-se o numerador em denominador e vice versus. A multiplicação de um número racional pelo seu inverso origina o número um que é o eixo de simetria. Se o zero for excluído, a razão entre a multiplicação do infinitamente positivo com o infinitamente negativo como numerador e a multiplicação do infinitamente negativo com o infinitamente positivo como denominador é o número um.
As operações matemáticas da aritmética tradicional assentam fundamentalmente nos eixos de simetria da soma e subtracção e da multiplicação e divisão. Com o desenvolvimento das potências, em matemática, surge um novo eixo de simetria. Qualquer número real ou complexo pode ser traduzido por uma potência e as potências aceitam os anteriores dois eixos de simetria, de tal modo que as operações matemáticas que envolvem o simétrico e o inverso de uma potência são bem conhecidas mas, com as potências, surge um terceiro eixo que consiste na simetria entre a base e o expoente da potência matemática. De facto, em qualquer número exponencial, se fizermos da sua base expoente e do seu expoente a base, pois o número potencial resultante é, de algum modo, simétrico. Há um grupo de números potenciais cuja base e expoente são iguais ( xx ) e que por isso constituem uma simetria que pode originar um novo sistema de numeração quando se torna necessário trabalhar com grandes números.
Assim como os números racionais ou fraccionários já integram o eixo de simetria relacionado com a soma e subtracção, também os números potenciais integram o eixo de simetria da soma e subtracção mais o eixo de simetria relacionado com os fraccionários mas acrescentam um terceiro eixo de simetria.
Para os números inteiros a simetria provém de, x - x = 0; para os números racionais temos: x / x = 1; para os números potenciais a simetria é mais complexa já que apesar do grupo de números potenciais de expressão geral xx aceitar as simetrias anteriores, aritmética e geométrica, pois nos restantes casos de números potenciais para se constituir o terceiro eixo de simetria, em relação com as simetrias aritmética e geométrica, terá de se aceitar a seguinte formulação numérica: ax. xa / ax = xa portanto, considerando “x” e “a” como integrando o conjunto dos números reais ou complexos, a simetria inversa ou fraccionária resultante da expressão xa / ax é que constitui o factor de transformação de um número potencial, com a sua base elevada ao expoente, no seu simétrico com o expoente elevado à respectiva base. Como nos números potenciais o terceiro eixo de simetria consiste em transformar a base, do número potencial, no seu expoente e o seu expoente na sua base; esta troca de bases por expoentes e vice-versa origina a simetria dos números potenciais que para possibilitar a realização de operações como soma, subtracção, multiplicação e divisão necessita do factor de transformação xa / ax no entanto se fossem criadas, em termos de estruturas algébricas, novas operações matemáticas, então o factor de transformação poderia ser excluído e surgiria uma nova aritmética capaz de proporcionar desenvolvimentos na nova matemática da descontinuidade.
           Doutor Patrício Leite, 4 de Outubro de 2016