Fractal e Função Zeta de Patrício

Com o desenvolvimento do teorema binomial de Newton tornou-se possível, escrever na forma canónica, um polinómio correspondente à potência de um binómio. A fórmula deste teorema binomial contém coeficientes binomiais que correspondem a números do triângulo aritmético ou de Pascal.
Estes números, do triângulo de Pascal, são calculados em análise combinatória, por combinações simples, sem repetição, através de uma fórmula que relaciona factoriais.
Patrício Leite conseguiu desenvolver uma transformação funcional, directa e inversa, entre produtórios e somatórios através da sua função zeta. Primeiro descobriu a relação fundamental de Patrício segundo a qual: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal; depois substituiu, cada número da linha do triângulo de Pascal pelo respectivo coeficiente binomial que foi associando com os respectivos binómios da sua relação fundamental, finalmente chegou, como resultado, ao somatório de infinitas potências que originou uma função designada Função Zeta de Patrício.

A transformação de um factorial num polinómio passa por, primeiro aplicar a relação fundamental de Patrício depois, a cada um dos binómios resultantes, aplicar o teorema binomial de Newton obtendo o respectivo polinómio na forma canónica; assim se consegue obter a transformação geral, directa e inversa, de um factorial no correspondente polinómio.

Há três fórmulas que importa conhecer, são elas: a fórmula do cálculo de combinações sem repetição; a fórmula do teorema do binómio de Newton e finalmente a fórmula da relação fundamental de Patrício. A interacção entre estas três fórmulas, no seu modo abstracto e generalizado até ao infinito, origina a expressão algébrica responsável pelo fractal de Patrício como um processo recursivo que também se desloca até ao infinito originando infinitos triângulos aritméticos ou de Pascal. Na realidade, a relação fundamental de Patrício, que é o resultado de um factorial, contém os números de uma linha do triângulo de Pascal mas também vários binómios; se a cada um desses binómios for aplicado o teorema binomial surgem os coeficientes binomiais que correspondem aos números do triângulo de Pascal; se finalmente aos coeficientes binomiais for aplicada a fórmula das combinações sem repetição, pois surgem vários números factoriais que, com a aplicação da relação fundamental de Patrício, retomam o ciclo infinitamente recursivo que, por isso, origina o fractal de Patrício.
Há uma semelhança, por simetria potencial inversa entre o teorema binomial de Newton e a relação fundamental de Patrício, traduzida na respectiva função zeta, que importa reconhecer; assim é que na relação fundamental de Patrício, além dos números constituintes do triângulo de Pascal, existem também vários coeficientes potenciais que são binómios cujo expoente potencial é igual ao número factorial que lhes deu origem; por outro lado, também se verifica que no teorema binomial de Newton a parte literal dos seus termos se assemelha ou iguala a simetria, potencial,  do inverso potencial dos binómios ou coeficientes potenciais da relação fundamental de Patrício; assim, a relação entre a parte literal dos termos do teorema binomial de Newton e os binómios ou coeficientes potenciais da relação fundamental da Patrício traduzem-se numa função potencial, cuja complementar é a função elevacional; funções estas que transformam as bases de quaisquer potências nos respectivos expoentes e os expoentes nas respectivas bases. Ficheiro completo e actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 10 de Dezembro de 2016