Grafos de Patrício

Grafos de Patrício e combinatória trigonométrica digital infinitesimal

GRAFOS DE PATRÍCIO
Grafos são estruturas conceptuais que tradicionalmente têm sido fundamentadas numa constituição assente em vértices e arestas definindo respectivamente os grafos hamiltonianos, cuja essência fenomenológica se baseia nos vértices, e os grafos eulerianos, cuja essência fenomenológica se baseia nas arestas. Acontece que qualquer estrutura, como os grafos, constituída por vértices e arestas obriga a que exista sempre, necessariamente sempre, uma terceira entidade, ou seja, os ângulos. Não podem existir vértices e arestas sem que exista pelo menos um ângulo. Portanto perante a ausência de, pelo menos, um ângulo, também não é possível a existência de vértices e arestas. Surge assim uma terceira categoria de grafos que são designados por grafos de Patrício cuja essência fenomenológica se baseia nos ângulos. As definições, terminologias e significações que habitualmente se usam para os grafos eulerianos e hamiltonianos também se podem aplicar, com as devidas adaptações, aos grafos de Patrício. Na teoria da complexidade computacional aplicada à resolução de problemas decidíveis em tempo polinomial não determinístico, com os grafos de Patrício, surge a possibilidade do desenvolvimento de algoritmos computacionais, capazes de resolver estes problemas que, na prática, se tornarão mais fáceis e exactos. Na realidade os grafos de Patrício são grafos angulares ou trigonométricos que vêm, a vários níveis, catalisar alterações profundas e reformadoras do pensamento matemático e filosófico; desde logo fazendo a ponte entre matérias tradicionalmente próprias da matemática finita, discreta ou descontínua, cujas contagens aritméticas, servindo-se dos conceitos e relações matemáticas que conduziram aos grafos de Patrício, avançam agora para a geometria e a matemática da continuidade própria da análise matemática infinitesimal com o cálculo diferencial e integral associado às funções derivadas e primitivas mas também a muitas outras áreas da matemática como, por exemplo, a trigonometria que permitirá realizar as contagens e cálculos como combinações, arranjos e permutações que, sendo habitualmente feitos pelos métodos da análise combinatória, passarão a ser também realizados com recurso a técnicas e métodos trigonométricos.

GRAFOS, CICLOS E ÂNGULOS
Ciclo é um conceito próprio da teoria dos grafos que ajuda a resolver problemas. Os grafos eulerianos ajudaram a resolver o problema das sete pontes de Königsberg; os grafos hamiltonianos têm sido utilizados na tentativa de encontrar soluções para o problema do caixeiro-viajante. O que estes ciclos têm em comum é que iniciam e terminam no mesmo ponto, isso significa que o percurso completo descreveu um ângulo de 360o portanto, faz todo o sentido, a introdução dos ângulos na terminologia e definição de uma nova categoria de grafos, grafos de Patrício, assim como o uso dos ângulos e trigonometria nos cálculos relacionados com os caminhos ou ciclos dos grafos.
É claro que, por semelhança com os anteriores, também em teoria dos grafos, se define um ciclo ou caminho de Patrício como, em sentido restrito, aquele em que cada ângulo apenas é considerado uma vez e a soma de todos os ângulos desse ciclo é igual a 360o ; num sentido mais alargado pode definir-se ciclo de Patrício como aquele em que a soma de todos os ângulos considerados é igual a 360o pelo que, nesta última situação, em qualquer problema envolvendo grafos, definem-se os vários caminhos de Patrício encontrados e depois escolhe-se o mais apropriado à resolução desse problema. Associar vértices, arestas e ângulos permite, na teoria dos grafos, diminuir o número de incógnitas e, como se sabe, em qualquer sistema, com igualdades, equivalências e operações matemáticas, quanto menor for o número de incógnitas mais fácil se torna encontrar a solução.  

GRAFOS E PIRÂMIDES CONVEXAS REGULARES
Entre os vários agrupamentos e classificações dos grafos reconhece-se que estes podem, ou não, ter relação com as arestas e vértices de sólidos geométricos. Entre os grafos resultantes dos sólidos geométricos existem os que seguem a relação de Euler para poliedros convexos e destes, um grupo particular, resultam das arestas e vértices de pirâmides. O uso e aplicação de pirâmides regulares como poliedros convexos, resultam da sua analogia multidimensional com o triângulo de Pascal mas também na facilidade de realização dos cálculos, relacionados com as combinações e arranjos completos, assim como nas demonstrações já que as pirâmides têm o número de faces igual ao número de vértices.
Considerando agora que a relação de Euler, para poliedros convexos, estabelece:
F + V - A = 2 sendo, A = Aresta, F = Face, V = Vértice
Se for efectuada a aplicação da relação de Euler aos sólidos geométricos designados pirâmides, surge como resultado uma particularidade muito interessante já que nesta situação, sendo o número de faces de cada pirâmide, igual ao número de vértices então a relação de Euler toma a fórmula: 2V – 2 = A portanto 2(V – 1) = A. Por outro lado, também se compreende que a relação de Euler, quando conjugada com as linhas do triângulo de Pascal, ou Tartaglia, assume um relevo muito significativo pois, na realidade, sabe-se que o somatório das combinações simples, portanto sem repetição, de qualquer linha deste triângulo é igual ao respectivo número de arranjos completos, portanto com repetição, de um conjunto de dois elementos, ou seja dois dígitos, que se repetem n a n sendo n exactamente o número da respectiva linha do triângulo de Pascal por conseguinte, nesta situação, a fórmula destes arranjos com repetição é descrita como dois elevado a n(2n).
A partir daqui pode-se trabalhar directamente com a relação de Euler que no caso da sua aplicação às pirâmides fica: 2V – A = 2 ou então fazendo V = n + 1 obtém-se como resultado demonstrado 2n = A ou seja 2 = A/n. Repare-se que n corresponde à linha do triângulo de Pascal e como o resultado do somatório de qualquer das linhas deste triângulo é sempre uma potência de expoente n com base dois (2n), ou seja dois dígitos, isto significa que os resultados finais não serão alterados; apenas tem de se efectuar as respectivas substituições conforme aquilo que se pretende calcular como seja, por exemplo, determinar o número da linha do triângulo, o somatório de combinações simples, assim como os respectivos arranjos com repetição, ou então o número de vértices e arestas da pirâmide, tendo em atenção o cálculo imediato dos respectivos grafos.
Para isso faz-se a relação entre pirâmide e linha do triângulo de Pascal.

GRAFOS E FUNÇÃO EXPONENCIAL / LOGARITMICA
Elevando A/n a n, portanto fazendo (A/n) elevado a n [(A/n)n], consiste em fazer a proporcionalidade de equivalência exponencial entre a relação de Euler, aqui para a particularidade das pirâmides mas também daria resultado com quaisquer outros poliedros convexos, e o somatório da linha do triângulo de Pascal que é uma função exponencial de base dois e expoente n (2n); a igualdade resultante consiste, em si própria, na descoberta de uma nova relação que se verifica neste triângulo aritmético tão enigmático.
Repete-se que esta proporcionalidade de equivalência exponencial poderia ser realizada com qualquer poliedro convexo usando a fórmula F + V - A = 2 o que daria (F + V – A)n = 2n, porém as faces do poliedro seriam mais uma variável a considerar; no entanto, para o caso particular das pirâmides, como o número de faces é igual ao número de vértices, os cálculos tornam-se mais facilitados.
Agora, se repararmos bem, verificamos que a base da potência é 2 (dois) pelo que, para facilitar os cálculos e porque as ciências da computação funcionam numa lógica de numeração binária, podem-se aplicar logaritmos de base 2 (dois), ficando: log 2 elevado a n = log (A/n) elevado a n, ou seja a fórmula é log22n = log2(A/n)n ; aplicando as propriedades dos logaritmos, que se consideram de base 2 (dois), obtém-se como resultado: n.log22 = n.log2(A/n), portanto, daqui resulta, 1 = log2(A/n) ou seja a fórmula de Patrício, 1 = log2A - log2n.
Esta belíssima fórmula, esteticamente perfeita, relaciona o número da linha(n)  do triângulo de Pascal com o número de arestas(A) e o número de vértices(V = n + 1) em grafos resultantes de poliedros convexos piramidais; obviamente que o número da linha(n)  do triângulo de Pascal é igual ao número de ângulos internos da base da pirâmide considerada o que imediatamente nos transporta para um dos grupos de grafos, pertencente ao conceito de grafos de Patrício; de notar que os grafos de Patrício se desenvolvem e centralizam à volta dos ângulos e da trigonometria e a soma dos ângulos internos das faces de poliedros convexos, constitui uma relação de relevo trigonométrico que se pode aplicar, neste caso concreto e simplificado, às pirâmides convexas regulares.

GRAFOS E ÂNGULOS NO TRIÂNGULO DE PASCAL
A fórmula de cálculo da soma dos ângulos internos de poliedros convexos, nos quais se incluem as pirâmides é, Soma poliedros = 360o(V - 2) sendo V = vértices, a fórmula para o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono é, Soma polígonos = 180o(n - 2) sendo n = número de lados ou então o número de ângulos do polígono. A partir daqui podem-se calcular os ângulos correspondentes aos grafos de Patrício, em relação com as pirâmides ou outros poliedros convexos mas também em relação com o triângulo de Pascal o que faz surgir as combinações e arranjos através, ou em função, de ângulos e trigonometria
Na realidade já foram antes estabelecidas algumas relações entre identidades trigonométricas e os coeficientes do binómio de Newton assim como do triângulo de Pascal. Por exemplo, é possível verificar um padrão matemático, entre a tangente (tg) e o número de combinações simples ao longo de cada linha do triângulo de Pascal, ou seja; tg na, sendo n = linha do triângulo de Pascal e a = um ângulo alfa considerado, dá numa sequência de numeradores e denominadores, como que em zigue-zague, a sequência de coeficientes binomiais ou combinações simples ao longo dessa linha. Estas constatações trigonométricas podem ser utilizadas na função de Patrício, efectuando a respectiva substituição, o que permitirá realizar cálculos entre permutações, funções trigonométricas e arranjos com repetição tendo em consideração os filamentos de Patrício como sendo mais um agrupamento dos grafos, com o mesmo nome, que fazem a transição entre as matemáticas discretas, com vários graus ou níveis de ordem na análise combinatória, o infinito e a teoria dos números.

TRIGONOMETRIA PROBABILÍSTICA
Os problemas envolvendo grafos, por exemplo em investigação operacional, são frequentemente equacionados em termos estatísticos ou probabilísticos; também os estudos de análise combinatória servem, muitas vezes, como meras ferramentas matemáticas de apoio ao cálculo de probabilidades. Por definição as probabilidades são o resultado de uma razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, variando os seus resultados entre 0 e 100% ou seja entre 0 e 1.  
Sendo as probabilidades uma função que varia entre zero e um, facilmente se torna compreensível que estas podem ser expressas por identidades trigonométricas, como o seno, co-seno, tangente ou co-tangente, dentro destes valores; por exemplo, as probabilidades podem ser expressas pelo valor do seno entre 0o e 90o ou então pelo valor do próprio ângulo. Na realidade a aplicação da trigonometria ao triângulo de Pascal e as várias relações estabelecidas com os grafos de Patrício, permitem antever uma utilidade prática do seu uso no cálculo probabilístico.

LINEARIZAÇÃO LOGARITMICA
A fórmula de Patrício, 1 = log2A - log2n que relaciona o número de vértices(n) mas também da linha(n) do triângulo de Pascal com o número de arestas(A), resulta da igualização exponencial da relação de Euler para poliedros convexos, aplicada ao caso concreto de pirâmides convexas, com o somatório das combinações simples ao longo da linha do triângulo de Pascal.
Como a base da respectiva função exponencial é dois e como em ciências da computação de trabalha com dois dígitos, foi pois efectuada uma linearização logarítmica de base dois. Desta linearização logarímica resulta uma função afim cuja fórmula geral é, Y = mX + b. Acontece que m corresponde ao declive e portanto, à primeira derivada mas também à tangente. A linearização, assim como as funções exponenciais e logarítmicas, aplicadas à igualização exponencial do somatório das combinações, ao longo da linha do triângulo de Pascal com as arestas, vértices e faces de acordo com a regra de Euler, ao permitir que se encare o triângulo de Pascal como um conjunto de funções, passando da matemática discreta para a análise infinitesimal de funções, com as respectivas derivadas e primitivas ou integrais, permitem também o envolvimento completo e facilitado em outras áreas da matemática tradicional, como a trigonometria. Na realidade a primeira derivada, ao fornecer a tangente, está imediatamente a promover o envolvimento da trigonometria; já a verificação da proporcionalidade exponencial / logarítmica permite estabelecer, para cada caso de um coeficiente binomial, uma função apropriada. Na prática os grafos mais não são do que segmentos de recta, designados arestas, localizados entre pontos que se designam por vértices, aos quais se vêm acrescentar ângulos para constituir os grafos de Patrício. Se esses segmentos de recta são traduzidos pela função afim, ou por qualquer outra, o importante é reconhecer que existe uma correspondência biunívoca entre, por um lado, a análise de funções continuas e, por outro, a matemática discreta.   
        
GRAFOS E GEOMETRIA TOPOGRÁFICA
Estranhamente, a teoria dos grafos tem apenas, até agora, abordado vértices e arestas numa bidimensionalidade do plano que nunca considera os ângulos como realidade existencial necessária. Por outro lado todas as aplicações dos grafos, ainda que meramente se considerasse o plano bidimensional, revelam sempre a necessidade de uma terceira variável. A variável angular permite formalizar matematicamente os grafos angulares ou trigonométricos como grafos de Patrício, ombreando em paridade com os grafos hamiltonianos e eulerianos na resolução de quaisquer problemas, incluindo problemas geográficos como rotas ou caminhos constituídos por estradas e circuitos electrónicos, mas também vias de difusão da informação pela internet ou outros meios de comunicação etc. enfim, no enorme número de aplicações que os grafos permitem. O uso de sólidos e outros corpos geométricos, poliédricos ou não, implica sempre uma geometria axial tridimensional à qual se podem acrescentar os ângulos como medida quantificadora capaz de ajudar nos cálculos de resolução dos problemas relacionados com grafos. A partir dos poliedros convexos, em particular das pirâmides regulares, é possível encontrar vários padrões e relações matemáticas capazes de permitir o avanço analítico; as pirâmides têm sempre uma base e superfícies laterais que, na sua planificação, implicam sempre a consideração dos planos perpendiculares em que estas se localizam. A bidimensionalidade dos grafos actuais e a tridimensionalidade relacionada com os grafos de Patrício, que introduz a componente angular, não se esgota pois é possível definir e utilizar sistemas matriciais multidimensionais.    

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Tradicionalmente cada aresta de um grafo é um segmento de recta, ou seja a representação gráfica de uma função afim localizada entre dois pontos designados vértices. A função afim pode ser representada graficamente num plano cartesiano com duas dimensões. A introdução e acrescento sucessivo de novas dimensões implicam sistemas de representação gráfica cada vez mais multiaxiais. Quando, nos grafos de Patrício, se inclui a componente angular torna-se lógica a existência de uma certa periodicidade cíclica, funções periódicas, pelo que o sistema de representação gráfica poderá também de incluir eixos para coordenadas angulares ou polares com pelo menos uma, ou duas, coordenadas lineares e uma angular. A representação gráfica não se esgota nos modelos tradicionalmente existentes; a criatividade pode gerar sistemas de representação que permitam avançar na descoberta de novos padrões matemáticos. Ao pensar a ligação entre os grafos e o triângulo de Pascal é inevitável a verificação de que a primeira e última coluna deste triângulo, simétrico, se faz com o número um; os seja, cada linha deste triângulo começa e termina com o número um, portanto, é possível fazer deste número a base para um sistema de representação axial dos outros números constituintes do triângulo de Pascal. Como além da análise matemática de funções também a análise combinatória, a trigonometria e os sólidos geométricos se ligam na constituição dos grafos, designadamente dos grafos de Patrício, é também possível construir este triângulo através dos valores de identidades trigonométricas como sejam o seno, co-seno, tangente e co-tangente e a partir daqui procurar regularidades ou padrões matemáticos; é também possível fazer do seno e co-seno, ou quaisquer outras identidades trigonométricas, o sistema de referência axial a partir do qual se representam todos os outros valores. Esta componente criativa faz a ponte, ou ligação, nesta matéria, entre a matemática e a filosofia.    

GRAFOS DE PATRÍCIO E FILOSOFIA MATEMÁTICA      
O estudo dos grafos em relação com a trigonometria, a análise combinatória e infinitésimal de funções de variável real, ou outras, vem filosoficamente estabelecer a ponte, ou ligação, entre problemas que preocupam o pensamento humano desde os primórdios da nossa civilização assente no conhecimento como uma forma, ou modo, de enfrentar as adversidades da realidade. A questão de um universo, finito ou infinito, que tanto tem afligido e inquietado a humanidade, pode agora ser solucionada como tendo uma realidade dual explicada pela coerência da coexistência matemática; também se tem problematizado a continuidade ou descontinuidade da matéria, sabe-se que as contagens fazem parte de uma matemática finita e discreta, ou descontínua, porém agora, a sua ligação à análise infinitesimal de funções faz a ligação entre a continuidade e descontinuidade numa só realidade existencial de características duais; os problemas filosóficos de alcance global, ou extremamente generalizados, da circularidade em oposição às linhas rectas mas também dos movimentos oscilatórios, circulares ou ondulatórios por oposição aos movimentos contínuos são agora explicados pela ligação entre a trigonometria das funções periódicas e as outras áreas da matemática; as questões do absoluto, dos referenciais unidimensionais absolutos por oposição aos sistemas referenciais relativos multiaxiais e multidimensionais são abordadas e ultrapassadas com os grafos de Patrício, mas outras, como as questões de simetria aritmética por oposição à simetria inversa, ou inversão geométrica, são solucionadas pelas funções exponenciais e logarítmicas que fazem não só a ligação entre os grafos tradicionais e os grafos angulares ou trigonométricos de Patrício, mas também se aplicam no âmbito dos números reais pelo que permitem passar da contagem, típica das matemáticas descontínuas ou discretas, para uma matemática da continuidade tendo em atenção a análise infinitesimal. 
No domínio da incerteza, sempre presente no ser humano, as novas definições de probabilidades podem ser efectuadas com base na trigonometria, mas também em funções matemáticas, ou nos sólidos geométricos com seus vértices, arestas e faces capazes de permitir cálculos e estabelecer uma angularidade trigonométrica que fundamenta e dá corpo existencial aos grafos de Patrício.
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Doutor Patrício Leite, 17 de Maio de 2018