Grafos de Patrício e combinatória
trigonométrica digital infinitesimal
GRAFOS DE PATRÍCIO
Grafos são estruturas
conceptuais que tradicionalmente têm sido fundamentadas numa constituição
assente em vértices e arestas definindo respectivamente os grafos hamiltonianos,
cuja essência fenomenológica se baseia nos vértices, e os grafos eulerianos,
cuja essência fenomenológica se baseia nas arestas. Acontece que qualquer
estrutura, como os grafos, constituída por vértices e arestas obriga a que
exista sempre, necessariamente sempre, uma terceira entidade, ou seja, os
ângulos. Não podem existir vértices e arestas sem que exista pelo menos um
ângulo. Portanto perante a ausência de, pelo menos, um ângulo, também não é
possível a existência de vértices e arestas. Surge assim uma terceira categoria
de grafos que são designados por grafos de Patrício cuja essência
fenomenológica se baseia nos ângulos. As definições, terminologias e
significações que habitualmente se usam para os grafos eulerianos e
hamiltonianos também se podem aplicar, com as devidas adaptações, aos grafos de
Patrício. Na teoria da complexidade computacional aplicada à resolução de
problemas decidíveis em tempo polinomial não determinístico, com os grafos de
Patrício, surge a possibilidade do desenvolvimento de algoritmos
computacionais, capazes de resolver estes problemas que, na prática, se
tornarão mais fáceis e exactos. Na realidade os grafos de Patrício são grafos
angulares ou trigonométricos que vêm, a vários níveis, catalisar alterações
profundas e reformadoras do pensamento matemático e filosófico; desde logo
fazendo a ponte entre matérias tradicionalmente próprias da matemática finita,
discreta ou descontínua, cujas contagens aritméticas, servindo-se dos conceitos
e relações matemáticas que conduziram aos grafos de Patrício, avançam agora para
a geometria e a matemática da continuidade própria da análise matemática
infinitesimal com o cálculo diferencial e integral associado às funções
derivadas e primitivas mas também a muitas outras áreas da matemática como, por
exemplo, a trigonometria que permitirá realizar as contagens e cálculos como
combinações, arranjos e permutações que, sendo habitualmente feitos pelos
métodos da análise combinatória, passarão a ser também realizados com recurso a
técnicas e métodos trigonométricos.
GRAFOS, CICLOS E ÂNGULOS
Ciclo é um conceito próprio da
teoria dos grafos que ajuda a resolver problemas. Os grafos eulerianos ajudaram
a resolver o problema das sete pontes de Königsberg; os grafos hamiltonianos
têm sido utilizados na tentativa de encontrar soluções para o problema do
caixeiro-viajante. O que estes ciclos têm em comum é que iniciam e terminam no
mesmo ponto, isso significa que o percurso completo descreveu um ângulo de 360o
portanto, faz todo o sentido, a introdução dos ângulos na terminologia e
definição de uma nova categoria de grafos, grafos de Patrício, assim como o uso
dos ângulos e trigonometria nos cálculos relacionados com os caminhos ou ciclos
dos grafos.
É
claro que, por semelhança com os anteriores, também em teoria dos grafos, se
define um ciclo ou caminho de Patrício como, em sentido restrito, aquele em que
cada ângulo apenas é considerado uma vez e a soma de todos os ângulos desse
ciclo é igual a 360o ; num sentido mais alargado pode definir-se
ciclo de Patrício como aquele em que a soma de todos os ângulos considerados é
igual a 360o pelo que, nesta última situação, em qualquer problema
envolvendo grafos, definem-se os vários caminhos de Patrício encontrados e
depois escolhe-se o mais apropriado à resolução desse problema. Associar vértices,
arestas e ângulos permite, na teoria dos grafos, diminuir o número de
incógnitas e, como se sabe, em qualquer sistema, com igualdades, equivalências
e operações matemáticas, quanto menor for o número de incógnitas mais fácil se
torna encontrar a solução.
GRAFOS E PIRÂMIDES CONVEXAS
REGULARES
Entre os vários agrupamentos e
classificações dos grafos reconhece-se que estes podem, ou não, ter relação com
as arestas e vértices de sólidos geométricos. Entre os grafos resultantes dos
sólidos geométricos existem os que seguem a relação de Euler para poliedros
convexos e destes, um grupo particular, resultam das arestas e vértices de
pirâmides. O uso e aplicação de pirâmides regulares como poliedros convexos, resultam
da sua analogia multidimensional com o triângulo de Pascal mas também na
facilidade de realização dos cálculos, relacionados com as combinações e
arranjos completos, assim como nas demonstrações já que as pirâmides têm o
número de faces igual ao número de vértices.
Considerando agora que a
relação de Euler, para poliedros convexos, estabelece:
F + V - A = 2 sendo, A =
Aresta, F = Face, V = Vértice
Se for efectuada a aplicação
da relação de Euler aos sólidos geométricos designados pirâmides, surge como
resultado uma particularidade muito interessante já que nesta situação, sendo o
número de faces de cada pirâmide, igual ao número de vértices então a relação
de Euler toma a fórmula: 2V – 2 = A portanto 2(V – 1) = A. Por outro lado,
também se compreende que a relação de Euler, quando conjugada com as linhas do
triângulo de Pascal, ou Tartaglia, assume um relevo muito significativo pois,
na realidade, sabe-se que o somatório das combinações simples, portanto sem
repetição, de qualquer linha deste triângulo é igual ao respectivo número de
arranjos completos, portanto com repetição, de um conjunto de dois elementos, ou
seja dois dígitos, que se repetem n a n sendo n exactamente o número da
respectiva linha do triângulo de Pascal por conseguinte, nesta situação, a
fórmula destes arranjos com repetição é descrita como dois elevado a n(2n).
A partir daqui pode-se
trabalhar directamente com a relação de Euler que no caso da sua aplicação às
pirâmides fica: 2V – A = 2 ou então fazendo V = n + 1 obtém-se como resultado
demonstrado 2n = A ou seja 2 = A/n. Repare-se que n corresponde à linha do
triângulo de Pascal e como o resultado do somatório de qualquer das linhas
deste triângulo é sempre uma potência de expoente n com base dois (2n),
ou seja dois dígitos, isto significa que os resultados finais não serão
alterados; apenas tem de se efectuar as respectivas substituições conforme
aquilo que se pretende calcular como seja, por exemplo, determinar o número da
linha do triângulo, o somatório de combinações simples, assim como os
respectivos arranjos com repetição, ou então o número de vértices e arestas da
pirâmide, tendo em atenção o cálculo imediato dos respectivos grafos.
Para isso faz-se a relação
entre pirâmide e linha do triângulo de Pascal.
Elevando A/n a n, portanto
fazendo (A/n) elevado a n [(A/n)n], consiste em fazer a proporcionalidade de
equivalência exponencial entre a relação de Euler, aqui para a particularidade
das pirâmides mas também daria resultado com quaisquer outros poliedros
convexos, e o somatório da linha do triângulo de Pascal que é uma função
exponencial de base dois e expoente n (2n); a igualdade resultante
consiste, em si própria, na descoberta de uma nova relação que se verifica
neste triângulo aritmético tão enigmático.
Repete-se que esta proporcionalidade
de equivalência exponencial poderia ser realizada com qualquer poliedro convexo
usando a fórmula F + V - A = 2 o que daria (F + V – A)n = 2n,
porém as faces do poliedro seriam mais uma variável a considerar; no entanto,
para o caso particular das pirâmides, como o número de faces é igual ao número
de vértices, os cálculos tornam-se mais facilitados.
Agora, se repararmos bem,
verificamos que a base da potência é 2 (dois) pelo que, para facilitar os
cálculos e porque as ciências da computação funcionam numa lógica de numeração
binária, podem-se aplicar logaritmos de base 2 (dois), ficando: log 2 elevado a
n = log (A/n) elevado a n, ou seja a fórmula é log22n =
log2(A/n)n ; aplicando as propriedades dos logaritmos,
que se consideram de base 2 (dois), obtém-se como resultado: n.log22
= n.log2(A/n), portanto, daqui resulta, 1 = log2(A/n) ou
seja a fórmula de Patrício, 1 = log2A - log2n.
Esta
belíssima fórmula, esteticamente perfeita, relaciona o número da linha(n) do triângulo de Pascal com o número de
arestas(A) e o número de vértices(V = n + 1) em grafos resultantes de poliedros
convexos piramidais; obviamente que o número da linha(n) do triângulo de Pascal é igual ao número de
ângulos internos da base da pirâmide considerada o que imediatamente nos
transporta para um dos grupos de grafos, pertencente ao conceito de grafos de
Patrício; de notar que os grafos de Patrício se desenvolvem e centralizam à
volta dos ângulos e da trigonometria e a soma dos ângulos internos das faces de
poliedros convexos, constitui uma relação de relevo trigonométrico que se pode
aplicar, neste caso concreto e simplificado, às pirâmides convexas regulares.
GRAFOS E ÂNGULOS NO TRIÂNGULO
DE PASCAL
A fórmula de cálculo da soma
dos ângulos internos de poliedros convexos, nos quais se incluem as pirâmides é,
Soma poliedros = 360o(V - 2) sendo V = vértices, a fórmula para o
cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono é, Soma polígonos = 180o(n
- 2) sendo n = número de lados ou então o número de ângulos do polígono. A
partir daqui podem-se calcular os ângulos correspondentes aos grafos de
Patrício, em relação com as pirâmides ou outros poliedros convexos mas também
em relação com o triângulo de Pascal o que faz surgir as combinações e arranjos
através, ou em função, de ângulos e trigonometria
Na realidade já foram antes estabelecidas
algumas relações entre identidades trigonométricas e os coeficientes do binómio
de Newton assim como do triângulo de Pascal. Por exemplo, é possível verificar
um padrão matemático, entre a tangente (tg) e o número de combinações simples ao
longo de cada linha do triângulo de Pascal, ou seja; tg na, sendo n = linha do
triângulo de Pascal e a = um ângulo
alfa considerado, dá numa sequência de numeradores e denominadores, como que em
zigue-zague, a sequência de coeficientes binomiais ou combinações simples ao
longo dessa linha. Estas constatações trigonométricas podem ser utilizadas na
função de Patrício, efectuando a respectiva substituição, o que permitirá
realizar cálculos entre permutações, funções trigonométricas e arranjos com
repetição tendo em consideração os filamentos de Patrício como sendo mais um
agrupamento dos grafos, com o mesmo nome, que fazem a transição entre as
matemáticas discretas, com vários graus ou níveis de ordem na análise
combinatória, o infinito e a teoria dos números.
TRIGONOMETRIA PROBABILÍSTICA
Os problemas envolvendo
grafos, por exemplo em investigação operacional, são frequentemente
equacionados em termos estatísticos ou probabilísticos; também os estudos de análise
combinatória servem, muitas vezes, como meras ferramentas matemáticas de apoio
ao cálculo de probabilidades. Por definição as probabilidades são o resultado
de uma razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis,
variando os seus resultados entre 0 e 100% ou seja entre 0 e 1.
Sendo as probabilidades uma
função que varia entre zero e um, facilmente se torna compreensível que estas
podem ser expressas por identidades trigonométricas, como o seno, co-seno,
tangente ou co-tangente, dentro destes valores; por exemplo, as probabilidades
podem ser expressas pelo valor do seno entre 0o e 90o ou
então pelo valor do próprio ângulo. Na realidade a aplicação da trigonometria
ao triângulo de Pascal e as várias relações estabelecidas com os grafos de
Patrício, permitem antever uma utilidade prática do seu uso no cálculo
probabilístico.
LINEARIZAÇÃO LOGARITMICA
A fórmula de Patrício, 1 = log2A - log2n
que relaciona o número de vértices(n) mas também da linha(n) do triângulo de
Pascal com o número de arestas(A), resulta da igualização exponencial da
relação de Euler para poliedros convexos, aplicada ao caso concreto de
pirâmides convexas, com o somatório das combinações simples ao longo da linha
do triângulo de Pascal.
Como a
base da respectiva função exponencial é dois e como em ciências da computação
de trabalha com dois dígitos, foi pois efectuada uma linearização logarítmica
de base dois. Desta linearização logarímica resulta uma função afim cuja
fórmula geral é, Y = mX + b. Acontece que m corresponde ao declive e portanto,
à primeira derivada mas também à tangente. A linearização, assim como as
funções exponenciais e logarítmicas, aplicadas à igualização exponencial do
somatório das combinações, ao longo da linha do triângulo de Pascal com as
arestas, vértices e faces de acordo com a regra de Euler, ao permitir que se
encare o triângulo de Pascal como um conjunto de funções, passando da
matemática discreta para a análise infinitesimal de funções, com as respectivas
derivadas e primitivas ou integrais, permitem também o envolvimento completo e
facilitado em outras áreas da matemática tradicional, como a trigonometria. Na
realidade a primeira derivada, ao fornecer a tangente, está imediatamente a
promover o envolvimento da trigonometria; já a verificação da proporcionalidade
exponencial / logarítmica permite estabelecer, para cada caso de um coeficiente
binomial, uma função apropriada. Na prática os grafos mais não são do que
segmentos de recta, designados arestas, localizados entre pontos que se
designam por vértices, aos quais se vêm acrescentar ângulos para constituir os
grafos de Patrício. Se esses segmentos de recta são traduzidos pela função afim,
ou por qualquer outra, o importante é reconhecer que existe uma correspondência
biunívoca entre, por um lado, a análise de funções continuas e, por outro, a
matemática discreta.
GRAFOS E GEOMETRIA TOPOGRÁFICA
Estranhamente, a teoria dos grafos
tem apenas, até agora, abordado vértices e arestas numa bidimensionalidade do
plano que nunca considera os ângulos como realidade existencial necessária. Por
outro lado todas as aplicações dos grafos, ainda que meramente se considerasse
o plano bidimensional, revelam sempre a necessidade de uma terceira variável. A
variável angular permite formalizar matematicamente os grafos angulares ou
trigonométricos como grafos de Patrício, ombreando em paridade com os grafos
hamiltonianos e eulerianos na resolução de quaisquer problemas, incluindo
problemas geográficos como rotas ou caminhos constituídos por estradas e
circuitos electrónicos, mas também vias de difusão da informação pela internet
ou outros meios de comunicação etc. enfim, no enorme número de aplicações que
os grafos permitem. O uso de sólidos e outros corpos geométricos, poliédricos
ou não, implica sempre uma geometria axial tridimensional à qual se podem
acrescentar os ângulos como medida quantificadora capaz de ajudar nos cálculos
de resolução dos problemas relacionados com grafos. A partir dos poliedros
convexos, em particular das pirâmides regulares, é possível encontrar vários
padrões e relações matemáticas capazes de permitir o avanço analítico; as
pirâmides têm sempre uma base e superfícies laterais que, na sua planificação, implicam
sempre a consideração dos planos perpendiculares em que estas se localizam. A
bidimensionalidade dos grafos actuais e a tridimensionalidade relacionada com
os grafos de Patrício, que introduz a componente angular, não se esgota pois é
possível definir e utilizar sistemas matriciais multidimensionais.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Tradicionalmente cada aresta
de um grafo é um segmento de recta, ou seja a representação gráfica de uma
função afim localizada entre dois pontos designados vértices. A função afim
pode ser representada graficamente num plano cartesiano com duas dimensões. A
introdução e acrescento sucessivo de novas dimensões implicam sistemas de
representação gráfica cada vez mais multiaxiais. Quando, nos grafos de
Patrício, se inclui a componente angular torna-se lógica a existência de uma
certa periodicidade cíclica, funções periódicas, pelo que o sistema de
representação gráfica poderá também de incluir eixos para coordenadas angulares
ou polares com pelo menos uma, ou duas, coordenadas lineares e uma angular. A
representação gráfica não se esgota nos modelos tradicionalmente existentes; a
criatividade pode gerar sistemas de representação que permitam avançar na
descoberta de novos padrões matemáticos. Ao pensar a ligação entre os grafos e
o triângulo de Pascal é inevitável a verificação de que a primeira e última
coluna deste triângulo, simétrico, se faz com o número um; os seja, cada linha
deste triângulo começa e termina com o número um, portanto, é possível fazer
deste número a base para um sistema de representação axial dos outros números
constituintes do triângulo de Pascal. Como além da análise matemática de
funções também a análise combinatória, a trigonometria e os sólidos geométricos
se ligam na constituição dos grafos, designadamente dos grafos de Patrício, é
também possível construir este triângulo através dos valores de identidades
trigonométricas como sejam o seno, co-seno, tangente e co-tangente e a partir
daqui procurar regularidades ou padrões matemáticos; é também possível fazer do
seno e co-seno, ou quaisquer outras identidades trigonométricas, o sistema de referência
axial a partir do qual se representam todos os outros valores. Esta componente
criativa faz a ponte, ou ligação, nesta matéria, entre a matemática e a
filosofia.
GRAFOS DE PATRÍCIO E FILOSOFIA
MATEMÁTICA
O estudo dos grafos em relação
com a trigonometria, a análise combinatória e infinitésimal de funções de
variável real, ou outras, vem filosoficamente estabelecer a ponte, ou ligação,
entre problemas que preocupam o pensamento humano desde os primórdios da nossa
civilização assente no conhecimento como uma forma, ou modo, de enfrentar as
adversidades da realidade. A questão de um universo, finito ou infinito, que tanto
tem afligido e inquietado a humanidade, pode agora ser solucionada como tendo
uma realidade dual explicada pela coerência da coexistência matemática; também
se tem problematizado a continuidade ou descontinuidade da matéria, sabe-se que
as contagens fazem parte de uma matemática finita e discreta, ou descontínua,
porém agora, a sua ligação à análise infinitesimal de funções faz a ligação
entre a continuidade e descontinuidade numa só realidade existencial de
características duais; os problemas filosóficos de alcance global, ou
extremamente generalizados, da circularidade em oposição às linhas rectas mas
também dos movimentos oscilatórios, circulares ou ondulatórios por oposição aos
movimentos contínuos são agora explicados pela ligação entre a trigonometria
das funções periódicas e as outras áreas da matemática; as questões do
absoluto, dos referenciais unidimensionais absolutos por oposição aos sistemas
referenciais relativos multiaxiais e multidimensionais são abordadas e
ultrapassadas com os grafos de Patrício, mas outras, como as questões de
simetria aritmética por oposição à simetria inversa, ou inversão geométrica, são
solucionadas pelas funções exponenciais e logarítmicas que fazem não só a
ligação entre os grafos tradicionais e os grafos angulares ou trigonométricos
de Patrício, mas também se aplicam no âmbito dos números reais pelo que
permitem passar da contagem, típica das matemáticas descontínuas ou discretas,
para uma matemática da continuidade tendo em atenção a análise infinitesimal.
No domínio da incerteza,
sempre presente no ser humano, as novas definições de probabilidades podem ser
efectuadas com base na trigonometria, mas também em funções matemáticas, ou nos
sólidos geométricos com seus vértices, arestas e faces capazes de permitir cálculos
e estabelecer uma angularidade trigonométrica que fundamenta e dá corpo
existencial aos grafos de Patrício.
Ficheiro Completo e Actualizado para Download
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Doutor
Patrício Leite, 17 de Maio de 2018