HOMOLOGIA DOS TRIÂNGULOS PATRÍCIO VERSUS PASCAL

A relação fundamental de Patrício, traduzida na fórmula:                   n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± … ± a11n
Sendo que a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha número n do triângulo aritmético ou de Pascal que correspondem aos coeficientes do binómio de Newton; por outro lado, desta relação fundamental deduz-se o coeficiente potencial de Patrício, definido por (n+1-k)n com 0 ≤ k ≤ n em correspondência com a sequência dos números da linha número n do triângulo de Patrício; também nesta relação fundamental, o factorial n! corresponde à linha número n do triângulo geométrico. Há pois uma relação de homologia entre as linhas dos triângulos geométrico, de Pascal e de Patrício. Esta relação homóloga, entre os três triângulos referidos, é traduzida algebricamente pela Função de Patrício cuja interpretação geral permite, em análise combinatória, relacionar factoriais ou permutações com sequências de combinações simples e sequências de arranjos com repetição.
No entanto, esta não é a única relação de homologia entre os três referidos triângulos. Se, continuando em análise combinatória, considerarmos sequências de combinações com repetição, traduzidas pelos respectivos coeficientes do binómio de Newton (cuja parte superior tem n + k – 1), quando o valor de k varia sucessivamente até atingir o valor de n, os resultados surgem sequencialmente dispostos ao longo da coluna do triângulo de Pascal correspondente ao valor de n.
Se, no coeficiente potencial de Patrício, substituirmos n por n + k – 1 ficamos com uma fórmula do referido coeficiente potencial assim, (n + k – 1 + 1 – k)(n+k-1) ou seja: n(n+k-1) portanto também aqui, quando o valor de k varia sucessivamente até atingir o valor de n, os resultados surgem sequencialmente dispostos ao longo da coluna do triângulo de Patrício correspondente ao valor de n.
Se, no triângulo geométrico substituirmos o factorial n! por (n + k -1)! então os resultados, quando o valor de k varia sucessivamente até atingir o valor de n, surgem sequencialmente dispostos ao longo da respectiva coluna do triângulo geométrico.
De notar que o número de elementos de cada sequência ao longo das referidas colunas, em cada um dos triângulos, é igual ao correspondente número de elementos que se encontram nas respectivas linhas desses triângulos; simplesmente as correspondências que se realizam com as linhas desses triângulos dizem respeito às combinações simples ou sem repetição e as correspondências que se realizam com as colunas dizem respeito às combinações com repetição. Aparentemente, mas ainda sem verificação concreta, a relação que se estabelece entre os triângulos de Pascal, geométrico e de Patrício, no que diz respeito às combinações com repetição, pode ser traduzida por uma expressão algébrica algo semelhante, ou que se aproxima ligeiramente, de uma função geradora ou geratriz exponencial na qual se verificam permutações com repetição com vários elementos diferentes.
Foram pois identificados e parametrizados dois modos de relação entre os triângulos de Pascal, geométrico e de Patrício; muitas mais, e variadas, são as relações que se podem encontrar entre estes três triângulos. Pascal ao identificar os números do triângulo aritmético com as combinações deu origem à análise combinatória. Patrício ao criar o triângulo das permutações ou factoriais, que designou por triângulo geométrico, assim como o triângulo das potências ou números potenciais, que designou por Triângulo de Patrício e se associa com os arranjos e, finalmente, ao descobrir e descrever algumas relações entre estes três triângulos, promoveu o desenvolvimento da matemática discreta ou finita num mundo cada vez mais computadorizado.
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Doutor Patrício Leite, 5 de Abril de 2017