As teorias dos números têm fornecido
consistência à matemática como ciência dos padrões; assim é que em qualquer sistema
de numeração há sempre uma dualidade e um compromisso entre uma qualidade e uma
quantidade: o numeral é o aspecto qualitativo, nome ou símbolo, atribuído a
qualquer número por sua vez, o número ou quantidade assume uma ordem organizada
pelo numeral. Num sistema de numeração de base dez, os nomes dos números, os
seus símbolos, são os algarismos. A relação entre o aspecto quantitativo e
qualitativo com a repetição periódica ou cíclica dos elementos da base de
numeração faz do número uma dualidade com uma componente periódica e uma componente
linear. Há em cada número uma componente geométrica associada com propriedades
cíclicas, periódicas ou angulares que determinam o respectivo número
trigonométrico, no entanto, também se pode realizar uma operação aritmética
conhecida como relação fundamental da divisão: Dividendo = Divisor x Quociente
+ Resto; ora esta relação assume a forma ou expressão geral de uma função
polinomial de primeiro grau designada função afim cujo divisor, ou o quociente,
podem qualquer um, ser considerados como o declive ou tangente de uma recta
representativa da função afim no plano cartesiano. A divisão, como operação
aritmética, já invoca implicitamente a noção de angularidade de um número, no
entanto, também se reconhece que desde o conjunto dos números naturais até aos
complexos, passando pelos reais, a sequência ordenada dos números surge sempre
como se fosse, por analogia, uma progressão aritmética cuja razão se pode
definir. No caso do sistema de numeração decimal, a razão da progressão aritmética
poderia ser definida como a unidade, a décima, a centésima, a milésima, etc. Conforme
a razão da progressão aritmética considerada, assim a sucessão se desloca até
ao infinito; por outro lado, no sistema decimal, a cada dez algarismos a
posição, na recta ordenada dos números, repete-se; surge pois em cada número
uma componente angular ou periódica e uma componente linear. A função afim,
quando se considera o sistema de numeração decimal é representada no plano
cartesiano como uma recta; no entanto se o sistema de numeração tivesse base
quatro então essa função afim no dito “plano cartesiano”, com dois eixos e
quatro ângulos iguais, seria representada como uma espiral já que uma das
variáveis da função seria linear mas a outra variável seria necessariamente angular.
Quando num qualquer sistema de numeração a base, deste sistema de numeração, coincide com o número de raios e de ângulos iguais de um sistema de representação gráfica, então o gráfico resultante para a sucessão dos números, desse sistema de numeração, é sempre uma espiral. Como qualquer um dos raios, ou dos ângulos, do sistema de representação gráfica pode assumir a componente “linear” dos números, então com coerência lógica, pode-se afirmar que qualquer número é uma relação entre ângulos.
No sistema de numeração decimal com uma
representação gráfica de, cinco eixos ou dez raios de circunferência, divididos
por ângulos iguais, já que neste sistema decimal há dez algarismos, então a
representação gráfica da progressão dos números surge como uma espiral de
Arquimedes que poderá ser volumétrica se a dimensão linear pertencer aos
números reais ou complexos.
Se neste sistema se pretender levar a
representação dos números até às centésimas então terão de existir cem raios e
cem ângulos iguais; se a representação for até às milésimas terão de existir mil
raios e mil ângulos iguais e assim sucessivamente.Quando num qualquer sistema de numeração a base, deste sistema de numeração, coincide com o número de raios e de ângulos iguais de um sistema de representação gráfica, então o gráfico resultante para a sucessão dos números, desse sistema de numeração, é sempre uma espiral. Como qualquer um dos raios, ou dos ângulos, do sistema de representação gráfica pode assumir a componente “linear” dos números, então com coerência lógica, pode-se afirmar que qualquer número é uma relação entre ângulos.
A matemática tradicional tem tentado
linearizar todos os números sem sucesso; tentar angularizar todos os números
acarretaria problemas e imprecisões semelhantes aos que têm ocorrido com as
tentativas de linearização tradicional. Por exemplo, o número Pi (π) é o resultado
de uma relação entre o perímetro da circunferência, melhor dizendo, o ângulo de
360 graus da circunferência e o seu diâmetro; esta é uma relação entre a
angularidade do perímetro e a linearidade do diâmetro. A tentativa de
linearizar o ângulo tem acarretado imprecisões na exactidão do número Pi (π); a
tentativa de angularizar o diâmetro da respectiva circunferência acarretaria
imprecisões semelhantes.
Os fundamentos da matemática acarretam uma
dualidade essencialmente irredutível entre a angularidade geométrica dos
números e a respectiva linearidade aritmética; tentar exprimir um número apenas
pelo seu aspecto linear ou angular é ocorrer numa imprecisão; como qualquer
número tem uma componente angular e uma linear então o mais correcto é arranjar
um sistema de notação em que cada número seja expresso simultaneamente pela sua
componente angular e linear. Entre os números irracionais, os transcendentes,
revelam precisamente essa dualidade fundamental e irredutível da relação entre
o geométrico e o aritmético, o angular e o linear, pelo que em favor do rigor
matemático é muito importante, para a teoria dos números, a criação da notação numérica
simultaneamente angular e linear que permitirá resolver problemas matemáticos
até agora sem solução.
Doutor Patrício Leite, 26 de Setembro de
2016