São imensos os símbolos que
permitem ao ser humano compreender a realidade em que está inserido. Em cada
linguagem há uma tremenda variabilidade, desde as letras, palavras e frases até
aos textos escritos e falados, um imenso número de associações, depois tem de
se considerar as várias linguagens e códigos; tudo informaticamente reduzido a
um sistema de numeração binário, dois números, dois dígitos, zero e um.
Os números mantêm complexas
relações entre si e procurar as várias relações que os sustentam é avançar na
teoria da complexidade pois, até para uma máquina superpotente há limites
temporais. A questão fundamental é saber se um computador consegue, em tempo
útil, “decidir” se os algoritmos de decisão que tem para resolver funcionam em
tempo polinomial em confrontação com outros que funcionem em tempo não
polinomial; podendo atingir iguais resultados. Como representantes máximos dos
algoritmos que funcionam em tempo não polinomial temos a noção matemática de
factorial pela qual se chegou a um problema conhecido tradicionalmente como o
problema do caixeiro-viajante.
O PROBLEMA DO DELEGADO
COMERCIAL
Era uma vez um delegado
comercial que durante o ano visitava sete vezes, cada um dos seus sete
clientes, localizados em sete cidades diferentes que tinham todas, entre si,
diferentes distâncias. Com tantas viagens, acabou por arranjar sete namoradas,
uma em cada cidade que visitava. Cansado de tanto trabalhar, decidiu fazer uma
semana de férias, durante esses sete dias, pretendeu visitar cada uma das suas
sete namoradas, uma por cada dia de férias. Como o tempo era escasso, tentou
percorrer o menor caminho possível, optimizar a rota da viagem de visita às
sete namoradas; assim reduziria o tempo gasto na viagem e poderia estar mais
tempo com as suas queridas donzelas. Chegadas as férias desejadas, no primeiro
dia, tentou traçar a melhor rota mas não conseguiu. Telefonou então ao seu
irmão mais novo que dizia ser o melhor estudante de matemática; obteve a
confirmação de que o número de rotas possíveis era uma espécie de permutação
matemática, ou seja, um factorial de sete e portanto o número de rotas ou
trajectórias possíveis seria 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040. Durante os seis dias
restantes gastou o tempo a tentar descobrir, destas 5040 rotas ou trajectórias
possíveis, aquela que lhe optimizaria o tempo, ou seja a que lhe permitiria
gastar menos tempo em viagem e estar mais tempo com as namoradas. Não
conseguiu; gastou o seu tempo de férias em cálculos e tentativas de optimizar a
rota e foi tudo inútil, tudo sem efeito. No dia seguinte exausto, deprimido e
triste, não foi trabalhar, procurou o seu médico de família. A chorar e
deprimido expôs o problema; passara as férias a tentar ganhar tempo para gastar
com as namoradas e afinal tudo perdeu, nem uma namorada conseguiu visitar.
Tratando-se de uma simples reacção depressiva, o seu médico não lhe prescreveu
medicamentos mas prometeu que o iria ajudar, que iria pensar no assunto.
Assim foi, já no carro, de
regresso a casa, o médico de família pensava que eram vários os nomes das
cidades, que se conseguisse ir eliminando termos desses polinómios, seria
facilitado o seu trabalho mas infelizmente não conseguia, não tinha potência.
Surgiu-lhe então a ideia das potências matemáticas e começou a imaginar os
vários números potenciais com as respectivas bases e expoentes. Na continuação
desse pensamento verificou que o resultado da segunda sequência de diferenças entre
três números decrescentes seguidos e elevados ao quadrado, era sempre dois.
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – O
INÍCIO
Para quaisquer três números
potenciais elevados ao quadrado, ou seja com expoente igual a dois, ordenados
seguidamente da base maior para a menor; a segunda sequência de diferenças entre
três quaisquer destes números potenciais seguidos, tem sempre por resultado o
número dois. Portanto, se a três números naturais sucessivamente decrescentes,
todos elevados a dois, for efectuada uma sequência de subtracções, entre dois
números seguidos, e aos resultados destas operações for efectuada uma segunda
sequência de subtracções, também entre resultados seguidos, pois o resultado final
encontrado será sempre o número dois.
Exemplificando:
82 - 72
- 62 - 52
- 42 - 32
- 22 - 12
15 - 13 - 11 - 9 - 7 - 5 - 3
2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2
0 0 0 0 0
Ou seja: 2! = 2x1 = 2
Números potenciais com expoente 3:
Este padrão de repetição matemático
também se verifica, para números potenciais com expoente 3. No entanto, quando
o expoente é igual a 3, pois terão de ser quatro os números potenciais seguidos
de acordo com a ordem decrescente das suas bases, mas também o número de
sequências de operações de subtracção, terá de ser igual a 3; portanto primeiro
subtraem-se os números, depois subtraem-se os respectivos resultados, depois
subtraem-se os resultados dos resultados e surge assim o resultado final, com
um número natural que será sempre igual a 6. Sendo que 6 é também o resultado
do factorial de 3.
Exemplificando:
73 - 63
- 53 - 43
- 33 - 23
- 13
127 - 91
- 61
- 37 - 19 - 7
36
- 30 - 24 - 18 - 12
6 -
6 - 6
- 6
0 0
0
Ou seja: 3! = 3x2x1 = 6
Verifica-se pois, uma
regularidade matemática entre os expoentes de números potenciais, como números
factoriais, e a sequência de subtracções sucessivas entre números potenciais
seguidos, organizados pela ordem decrescente das suas bases, e também
subtracções sucessivas e sequenciais dos respectivos resultados até chegar ao
último número natural; número este que é igual ao resultado do respectivo
factorial do expoente. Ou seja, ao factorizar o expoente 3 o resultado é 6, mas
6 é também o resultado da diferença sucessiva entre 4 números potenciais
seguidos de expoente 3, organizados pelo valor decrescente das suas bases assim
como da diferença sucessiva dos respectivos resultados num total de 3
sequências de diferenças até chegar ao resultado final que é o número 6, portanto
igual ao resultado do factorial de 3.
Encontrar uma regularidade
matemática, um padrão de repetição, na relação entre números potenciais com o
mesmo expoente, o factorial desse expoente e sucessivas operações aritméticas
de subtracção até chegar a um resultado igual ao do factorial, exige a
confirmação desse padrão, exige a consolidação dessa regularidade. Assim, foram
efectuados cálculos numéricos com vários outros expoentes de números, com a
vontade de verificar o padrão encontrado.
Números potenciais com expoente 4:
O padrão de pensamento
matemático e operações de cálculo efectuados com os números potenciais de
expoentes 2 e 3, foi agora repetido para o expoente 4.
Exemplificando:
64
- 54 - 44 - 34
-
24
-
14
671 - 369
- 175 -
65 - 15
302
- 194 - 110
– 50
108 -
84 - 60
24 -
24
0
Ou seja: 4! = 4x3x2x1 = 24
Obviamente confirmou-se que o
factorial do expoente 4 é igual a 24, precisamente igual ao resultado
encontrado com operações de subtracção sucessivas e sequenciadas até chegar ao
último número natural, como resultado final deste padrão de operações de
cálculo. No entanto para números com expoente 4 também o número de sequências
de subtracções sucessivas é igual a 4.
Números potenciais com expoente 5:
Para números potenciais com
expoente 5, a repetição do padrão de raciocínio e operações de cálculo
matemático confirmou a consistência dos resultados previstos.
Números potenciais com expoente 6:
Repetiu-se a consistência dos
resultados previstos.
Números potenciais com expoente 7:
Para realizar indução
matemática, com toda a confiança, ainda realizou mais um cálculo e os
resultados foram os previamente previstos.
A expressão algébrica que
traduz este tipo de padrão ou regularidade matemática é imediata, no entanto este
foi apenas um primeiro raciocínio, um pensamento inicial, um pensamento
exploratório. Torna-se necessária uma segunda série de cálculos conducentes a
novos padrões matemáticos, novas regularidades matemáticas capazes de resolver
o problema.
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA –
CONTINUAÇÃO
Se por um lado foi verificado que
o resultado do factorial do expoente, de números potenciais, iguala o resultado
de sequências de sucessivas subtracções até atingir o último número natural,
precisamente antes de zero; pois torna-se agora necessário verificar o modo
como as bases dessas potências se relacionam, na procura de novos padrões
matemáticos, novas regularidades que resolvam o problema.
Assim, foram persistentemente efectuadas
substituições, nos respectivos resultados, das sequências de sucessivas
subtracções, pelos correspondentes números potenciais. Portanto cada resultado
da operação de subtracção foi substituído pelos correspondentes números
potenciais que o originaram, como se segue:
Números potenciais cujo expoente é 3:
Parte-se do triângulo
invertido que relaciona o expoente dos números potenciais, com as sequências de
sucessivas subtracções até atingir o último número natural, precisamente antes
de zero.
43 - 33 - 23 - 13
37 -
19 - 7
18
- 12
6
A seguir, estabelecendo a
correspondente igualdade, relacionam-se os resultados da primeira sequência de
subtracções com os respectivos números potenciais. Portanto igualam-se os
resultados de cada uma das sucessivas subtracções aos respectivos números
potenciais que lhes deram origem. Efectuam-se as respectivas substituições.
Exemplificando:
37 = 43
- 33
19 = 33
- 23
7 = 23 - 13
Passando para a sequência de
subtracções, que se segue, a cada resultado é efectuada a respectiva
substituição pelos correspondentes números potenciais que lhes deram origem; considerando
que já antes tinham sido efectuada uma primeira substituição. Portanto trata-se
da substituição de uma substituição; ou seja, duas sequências de substituições.
Exemplificando:
18 = 37 - 19 = 43 - 33
- (33 - 23 ) = 43 - 33
- 33 + 23
12 = 33 - 23 - (23 - 13)
= 33 – 23 – 23 + 13
Continua-se a substituição de
sucessivas substituições, nas sequências de sucessivas subtracções, até
encontrar o último número natural, precisamente antes de zero, o qual surge
como uma relação aritmética entre os números potenciais que lhe deram origem.
Exemplificando:
18 – 12 = 43 - 33
- 33 + 23 – (33 – 23
– 23 + 1 ) = 43 - 33
- 33 + 23 – 33 + 23
+ 23 - 13 =
= 43 - 33
- 33 + 23 – 33 + 23
+ 23 - 13 = 43
– 3x33 + 3x23 – 13 =
= 1x43
– 3x33 + 3x23
– 1x13 = 6 = 3x2x1= 3!
Assim, surgiu finalmente uma
expressão numérica que relaciona as sequências de sucessivas subtracções, agora
traduzidas pelos respectivos números potenciais, com o número factorial do
expoente, comum a todos esses números potenciais, que a originaram.
Números potenciais cujo expoente é 4:
A regularidade matemática concretizada nas
várias igualdades de sequências de substituições sucessivas, aos resultados
encontrados nas sequências de sucessivas subtracções, pelos correspondentes
números potenciais, ordenados pelo valor decrescente das suas bases, mantém-se
para os números cujo expoente é 4; assim vai ser encontrado um resultado final
em consonância lógica com o exemplo anterior.
Exemplificando:
54
- 44 - 34 - 24 - 14
369
- 175 -
65 - 15
194
- 110 – 50
84 - 60
24
Efectuando a igualdade da primeira
sequência de substituições surge:
369 = 54 – 44
175 = 44 – 34
65 = 34 – 24
15 = 24 – 14
Continuando a igualar os
números potenciais, na segunda sequência de substituições vem:
194 = 369 – 175 = 54
- 44 – (44 - 34) = 54 – 44
– 44 + 34 =
110 = 175 – 65 = 44
– 34 – (34 - 24) = 44 – 34
– 34 + 24 =
50 = 65 – 15 = 34 –
24 – (24 – 14) = 34 – 24
– 24 + 14 =
Mais uma terceira sequência de
substituições:
84 = 194 – 110 = 54
– 44 – 44 + 34 – (44 – 34
– 34 + 24) = 54–44–44+34–44+34+34-24
60 = 110 – 50 = 44
– 34 – 34 + 24 – (34 – 24
– 24 + 14) = 44-34-34+24-34+24+24-14
Finalmente, para os números
potenciais com expoente 4 e ordenados pelo valor decrescente das suas bases, a
quarta e última sequência de substituições permite relacionar as sequências de
sucessivas subtracções, com o número factorial do respectivo expoente, comum a
todos esses números potenciais.
24 = 84 - 60 = 54–44–44+34–44+34+34-24-
(44-34-34+24-34+24+24-14
) =
= 54–44–44+34–44+34+34-24-
44+34+34-24+34-24-24+14
=
= 1x54
– 4x44 + 6x34
– 4x24 + 1x14
= 24 = 4x3x2x1 = 4!
Números potenciais cujo expoente é 5:
Em consonância com o que já foi
aqui descrito para os outros números potenciais; primeiro cria-se o triângulo
invertido, cujo resultado final é um número natural igual ao resultado do
número factorial do expoente dos respectivos números potenciais.
65 -
55 - 45 -
35 - 25 -
15
4651
- 2101 -
781 - 211
- 31
2550 -
1320 - 570
- 180
1230 -
750 - 390
480 -
360
120
Efectua-se a igualdade da primeira
sequência de substituições:
4651=65-55
2101=55-45
781=45-35
211=35-25
31=25-15
Continua-se a igualar com a
segunda sequência de substituições:
2550=4651-2101=65-55-(55-45)=65-55-55+45
1320=2101-781=55-45-(45-35)=55-45-45+35
570=781-211=45-35-(35-25)=45-35-35+25
180=211-31=35-25-(25-15)=35-25-25+15
Realiza-se a terceira
sequência de substituições:
1230=2550-1320=65-55-55+45-(55-45-45+35)=65-55-55+45-55+45+45-35
750=1320-570=55-45-45+35-(45-35-35+25)=
55-45-45+35-45+35+35-25
390=570-180=45-35-35+25-(35-25-25+15)=
45-35-35+25-35+25+25-15
Apesar de trabalhoso, e da
possibilidade de ocorrência de lapsos, continua-se com a quarta sequência de
substituições:
480=1230-750=65-55-55+45-55+45+45-35-(55-45-45+35-45+35+35-25)=
=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25
360=750-390=55-45-45+35-45+35+35-25-(45-35-35+25-35+25+25-15)=
=55-45-45+35-45+35+35-25-45+35+35-25+35-25-25+15
Finalmente, tratando-se de
números potenciais com expoente 5, pois são também 5 as sequências de
substituições:
120=480-360=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25-(55-45-45+35-45+35+35-25-45+35+35-25+35-25-25+15)=65-55-55+45-55+45+45-35-55+45+45-35+45-35-35+25-55+45+45-35+45-35-35+25+45-35-35+25-35+25+25-5=
=1x65-5x55+10x45-10x35+5x25-1x15=120=5x4x3x2x1=5!
Portanto mais uma vez, o
resultado final é uma relação de igualdade entre, por um lado, várias operações
aritméticas diferentes e por outro apenas a operação multiplicação de números
sucessivamente decrescentes, ou seja o factorial.
Números potenciais cujo expoente é 6:
Também aqui, mais uma vez, se
inicia com a formação triangular referente às sequências de sucessivas
subtracções até atingir o resultado final que é o número natural igual ao
resultado do número factorial do expoente dos respectivos números potenciais
Realizando as subtracções
sucessivas e respectivas substituições numéricas, mas agora sem escrever todos
os cálculos efectuados, por ser trabalhoso e porque a respectiva lógica de
operações e cálculo já foi demonstrada, surge pois a expressão numérica final,
assim:
720=3240-2520 = 76-
66 - 66 + 56 - 66 + 56 +
56 - 46 - 66 + 56 + 56 -
46 + 56 - 46 - 46 + 36 -
66 + 56 + 56 - 46 + 56 -
46 - 46 + 36 + 56 - 46 -
46 + 36 - 46 + 36 + 36 -
26 - 66 + 56 + 56 - 46 +
56 - 46 - 46 + 36 + 56 -
46 - 46 + 36 - 46 + 36 +
36 - 26 + 56 - 46 - 46 +
36 - 46 + 36 + 36 - 26 -
46 + 36 + 36 - 26 + 36 -
26 - 26 + 16 =
= 1x76
– 6x66 + 15x56
– 20x46 + 15x36
– 6x26 + 1x16
= 720 = 6x5x4x3x2x1 = 6!
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA – RESULTADO
Apesar dos padrões e
regularidades matemáticas encontradas, constituírem um estímulo ao trabalho, a
realidade é que após efectuar todos cálculos, todas as tarefas, se torna necessário
atribuir um significado, um sentido sem o qual a coerência lógica e matemática se
perdem.
Agrupamento das expressões numéricas finais:
Para cada conjunto de números
potenciais com o mesmo expoente, ordenados pelo valor das suas bases de modo decrescente,
realizou numa primeira fase, no início, sequências de sucessivas subtracções
até chegar ao último número natural que iguala o resultado do factorial do
respectivo expoente; numa segunda fase, em continuação, realizou sequências de
sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em
cada caso, a expressões numéricas finais que agora vai agrupar:
A análise deste agrupamento
triangular de expressões numéricas; quando se centra a atenção nos primeiros
números de cada termo, aqui escritos a vermelho, faz pensar no Triângulo
Aritmético, também conhecido por Triângulo de Tartaglia, de Yang-Hui ou também chamado
Triângulo de Pascal. A partir deste pensamento e com o propósito de o
confirmar; apenas por indução matemática e dedução lógica, desenvolve e agrupa
várias outras expressões numéricas semelhantes até ao expoente 11, assim:
Para algumas destas expressões
numéricas, realizou os respectivos cálculos que confirmaram a sua veracidade.
Confirmou também que os primeiros números de cada termo, aqui escritos a
vermelho, correspondem precisamente aos números do Triângulo Aritmético ou de
Pascal.
Relação fundamental de Patrício:
O agrupamento das expressões
numéricas finais e a confirmação da sua associação com o Triângulo Aritmético,
também conhecido por Triângulo de Tartaglia, de Yang-Hui ou também designado
Triângulo de Pascal; conduziram por indução matemática a uma generalização
traduzida na seguinte expressão algébrica:
n! = nx(n–1)x(n–2)x(n–3)x …
x2x1 =
= a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ±
a11n
A relação de igualdade, que se
estabelece entre um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse
factorial traduzida, por generalização, nessa expressão algébrica, é designada relação fundamental de Patrício:
n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
Sendo que: a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 são a sequência dos números da
linha do triângulo aritmético ou de Pascal; linha essa que é igual ao respectivo
número factorial, mas também igual ao expoente da expressão que define o grau
do polinómio.
Compreende-se que a1 = 1 e a2
= n e que, por o triângulo aritmético ser simétrico, também outros coeficientes
numéricos dos vários termos do polinómio serão, entre si, iguais.
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA –
DISCUSSÃO DO RESULTADO
O primeiro dos números
factoriais é 2!; assim como o número zero está para a adição e o número um para
a multiplicação, também assim o 2! está para a factorialização.
A relação fundamental de
Patrício demonstra claramente que, a partir do número factorial 2!, qualquer
outro número factorial, pode ser traduzido por uma expressão numérica de
natureza polinomial pelo que qualquer função factorial se pode traduzir numa
função polinomial; mas o inverso também é verdadeiro.
Nos vários termos ou monómios
deste polinómio, os coeficientes numéricos são os números do triângulo
aritmético ou de Pascal.
Para o triângulo aritmético,
constituído por linhas e colunas, existem vários algoritmos aritméticos capazes
de calcular cada um dos seus números constituintes.
A própria natureza aritmética
do triângulo faz da adição a sua operação fundamental pelo que qualquer um dos
seus números terá de ser determinado através da operação de adição ou de sucessivos
somatórios de somatórios.
Há também algoritmos de
natureza factorial, como o binómio de Newton e outros, que permitem calcular os
números em cada linha sem conhecer os valores de linhas anteriores, mas a
natureza do triângulo aritmético assenta na operação adição.
Quando se considera a condição
de alternar entre subtracção e adição, ao longo da mesma linha, o resultado
final para os números do Triângulo Aritmético, de Tartaglia, Yang-Hui ou de
Pascal são sempre iguais a zero.
O facto de a alternância entre
subtracção e adição, ao longo da mesma linha do triângulo aritmético resultar no
número zero, faz com que o polinómio associado à relação fundamental de
Patrício: n! = a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n, seja
um polinómio determinístico.
O facto de o triângulo
aritmético ou de Pascal ter natureza simétrica, conjugado com a constatação de
que a alternância entre subtracção e adição dos seus números, ao longo da mesma
linha resulta no número zero faz do polinómio associado à relação fundamental
de Patrício: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n, um
polinómio completamente determinístico.
A igualdade, factorial =
polinomial permite, para todas as situações, encontrar um modo polinomial de
resolver um factorial; ainda que o grau do polinómio seja igual ao respectivo número
factorial. Assim, transforma a resolução de um tempo factorial, qualquer que
este seja, numa questão de tempo polinomial.
O triângulo aritmético, ou de
Pascal, comporta em si próprio um fácil algoritmo de decisão informática
resolvido em tempo polinomial, pelo que inserido na relação fundamental de
Patrício: n! = a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
transforma qualquer problema ou algoritmo informático de natureza temporal não
determinística ou não polinomial, num algoritmo temporal completamente determinístico
em tempo polinomial.
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA –
CONCLUSÃO
O delegado comercial ou caixeiro-viajante,
tem agora uma ferramenta matemática que lhe facilita os cálculos para optimizar
a decisão de determinar a melhor rota ou circuito comercial, mas o trabalho não
se esgota com a resolução do problema P versus
NP.
PARA ALÉM DA RELAÇÃO
FUNDAMENTAL DE PATRÍCIO
A relação fundamental de
Patrício na sua íntima interdependência com o triângulo aritmético de Pascal,
invoca um elevado número de interrogações que apesar de não estarem no âmbito
desta reflexão, deixam transparecer imediatamente a ideia de que a sua investigação
seria pertinente. Algumas dessas interrogações, das mais elementares, serão seguidamente
exemplificadas:
Estudos sobre polinómios:
Haverá algum modo simples de
converter e exprimir polinómios sobe a forma da relação fundamental de Patrício
que a partir daí serão transformados numa expressão algébrica factorial?
Análise de funções:
Considerando que da relação
fundamental de Patrício se extrai:
n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
Portanto:
[a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n]/n! =
1
mas também
n!/[a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n] = 1
Como será o estudo de funções
que tenham por domínio números ou expressões factoriais e como contradomínio os
respectivos polinómios? Quais as derivadas e primitivas dessas funções?
Relação entre o binómio de Newton e a relação fundamental de Patrício:
A resolução do binómio de
Newton permite, pelos respectivos coeficientes numéricos, encontrar os números,
de cada fila, do triângulo aritmético mas, as partes literais dos seus termos
não coincidem com as partes literais dos termos do polinómio da relação
fundamental de Patrício. Será interessante estudar e verificar o modo como as
partes literais dos termos resultantes da resolução do binómio de Newton se
relacionam com as partes literais dos termos do polinómio da relação
fundamental de Patrício.
Triângulo Geométrico:
Se o triângulo aritmético se
baseia na adição, pois também se pode construir um outro triângulo com base na
operação multiplicação, com base nos factoriais. Assim:
1
2x1
3x2x1
4x3x2x1
5x4x3x2x1
6x5x4x3x2x1
7x6x5x4x3x2x1
8x7x6x5x4x3x2x1
9x8x7x6x5x4x3x2x1
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
A referida relação fundamental
de Patrício permite estabelecer um paralelismo entre o triângulo aritmético,
constituído a partir de várias somas efectuadas nas linhas anteriores, e um
triângulo geométrico constituído a partir de números factoriais seguidos.
O facto de os dois triângulos se
relacionarem por uma expressão algébrica, uma expressão polinomial, torna os
cálculos facilitados.
CONCLUSÃO FINAL
A arte não é sentida como intrinsecamente
necessária à continuidade da vida, mas nutre um fascínio inato por parte dos seres
humanos; os artistas da música, escultura, pintura e outras artes, são
sobejamente admirados pelas pessoas. O pensamento como arte apenas cativa a
atenção em escassos domínios como a narrativa e por vezes a poesia. A criação
de ideias filosóficas também maravilha os mais racionais mas ao domínio da
ciência atribui-se frequentemente uma necessidade de sobrevivência da
humanidade, uma necessidade de bem-estar e um carácter técnico, uma seriedade
pela qual se exclui toda a criatividade típica da arte; ao excluir-se a criatividade
retira-se a merecida admiração popular. A criatividade do pensamento, a geração
de ideias, ainda que inúteis ou relacionando conceitos científicos sem
utilidade prática imediata, mantém toda a beleza da arte; a arte do futuro será
a arte de pensar. Este pensamento, esta reflexão é uma simples obra de arte, … é
obra da minha arte! Ficheiro para Download
Doutor Patrício Leite, 9 de Novembro de 2016