Números Primos no Sistema Residual

O conceito de números primos está indissociavelmente ligado com as operações aritméticas da matemática; assim é que as ideias de múltiplos e divisores se associam com as operações multiplicação e divisão cujo elemento neutro é o número um, por outro lado nas operações adição e subtracção o elemento neutro é o número zero.
Tradicionalmente aceita-se que, no conjunto dos números naturais, número primo é aquele que tem apenas dois divisores, ou seja, ele próprio e a unidade; porém da conjugação dos números com as operações aritméticas resulta a relação fundamental da divisão que determina: dividendo = divisor x quociente + resto.
A aplicação da relação fundamental da divisão, determina que qualquer número, qualquer dividendo que tenha divisores (diferentes da unidade e dele próprio), e por resto o número zero, pois não é um número primo; por outro lado, se o resto desta operação for diferente de zero, pois o dividendo será um número primo. Assim, é o resíduo, o resto da operação que distingue se um número é ou não primo, de tal modo que se o resto, se o resíduo for zero, pois não é primo; por outro lado se o resíduo, se o resto, for diferente de zero, pois trata-se de um número primo. Assim, é este sistema residual, com base no resto igual a zero, base zero, que determina se um número é, ou não, primo. A matemática tradicional dos números primos assenta no sistema residual de base zero mas, com toda a legitimidade, poderia assentar num sistema residual de base um, dois, três, quatro, etc. Aprende-se muito cedo, nas escolas, que para se excluir números primos o resto da relação fundamental da divisão tem de ser zero, no entanto poderia ser um, dois, três ou qualquer outro número, para tanto bastaria escolher o sistema residual pretendido.
Um número pode ser primo num sistema residual mas já o não ser num outro sistema residual. Por exemplo;
O número 41 é considerado número primo no sistema residual de base zero, pois para realizar a relação fundamental da divisão com resto zero, apenas admite como divisores ele próprio e a unidade, mas no sistema residual de base um já não é um número primo pois se o resto da relação fundamental da divisão for o número um, então a quantidade de divisores será variada como 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40, se por outro lado o sistema residual considerado for de base dois, pois numa relação fundamental da divisão com resto dois, o número 41 também não é primo pois tem como divisores números como 3, 13 e 39; se agora considerarmos o sistema residual de base três, pois o resto da divisão na relação fundamental da divisão terá de ser três, pelo que nesta situação, o número 41 também não é primo já que admite como divisores os números 2, 19 e 38. O sistema residual poderia ter base quatro, cinco, seis etc. O que determina a base do sistema residual é o valor do resto na relação fundamental da divisão, é também o valor do resto que determina se um número é, ou não, primo nessa base ou nesse sistema residual. Se um número primo no sistema residual zero, não é primo num outro sistema residual; também um número não primo no sistema residual zero pode ser primo num outro sistema residual. Assim é que o número 42 não é primo no sistema residual zero (já que tem como divisores 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), no entanto é um número primo no sistema residual um já que (no sistema residual um, o resto da divisão na relação fundamental da divisão é um) apenas admite como divisor o número 41; por outro lado no sistema residual dois tem como divisores os números 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 pelo que não é primo.
O número um, ou unidade, é neutro relativamente à multiplicação e divisão mas não em relação com a adição e subtracção pelo que não se valoriza na determinação de números primos em sistemas residuais diferentes de zero. Assim, um número primo num sistema residual diferente de zero tem apenas um divisor.
Se for agora iniciada uma breve análise matemática da relação fundamental da divisão pois pode-se afirmar que esta, no conjunto dos números reais, assume uma equação polinomial de primeiro grau designada função afim. Portanto a relação, dividendo = divisor x quociente + resto, assume a forma, y = ax + b, em que o dividendo = y, o divisor = a ou x, o quociente = x ou a, o resto = b. Na função afim a letra a ou coeficiente angular, corresponde ao declive, que neste caso também pode ser x, já a letra b ou coeficiente linear, permite calcular o valor da ordenada na origem.
No sistema residual de base zero o resto da relação fundamental da divisão, ou seja, a letra b na equação afim, assume o valor zero, portanto todos os gráficos passam na origem dos eixos. Tendo o número y, um valor determinado, os valores dos declives resultam do valor de a ou de x pelo que num gráfico cartesiano em que os valores de b e de y estão previamente determinados, pois os valores de a e de x, enquanto variáveis dependente e independente, assumem uma função hiperbólica tipo y – b = k = ax, em que k significa constante, a pode ser o dividendo ou o quociente e x pode ser também o dividendo ou o quociente. O que ocorre com o sistema residual de base zero pois também ocorre com qualquer outra base do sistema residual considerado, simplesmente o valor de b ao determinar a base desse sistema residual também altera os valores da função hiperbólica que permite relacionar o declive com a variável x da função afim. Portanto, na relação fundamental da divisão, qualquer que seja o resto considerado, conhecendo o valor do dividendo, pois o divisor e o quociente surgem, nos números reais, como uma espécie de função hiperbólica.
O que determina a base do sistema residual é o valor do resto na relação fundamental da divisão e com este valor, como um dado determinado a priori, pois assim se determina a quantidade de divisores de um número e, por conseguinte, se ele é, ou não, primo num determinado sistema residual. 
Continuando a breve análise matemática da relação fundamental da divisão, dividendo = divisor x quociente + resto, pode-se dizer que a respectiva função afim, y = ax + b, tem quatro variáveis portanto, em termos matemáticos de análise combinatória são seis os pares de combinações das respectivas variáveis, (combinações de 4 variáveis duas-a-duas), portanto são doze os possíveis arranjos de interacções entre planos cartesianos (seis planos diferentes) e gráficos de funções (seis funções diferentes). Aqui considera-se que duas quaisquer variáveis da respectiva função afim constituem as duas dimensões do plano cartesiano e as outras duas variáveis constituem a função representada nesse plano, pelo que a relação de relatividade, de interconversão do plano cartesiano numa função e de uma função no plano cartesiano, em conjugação com os sistemas residuais de base são objecto de análise matemática conducente à descoberta dos números primos. Esta análise matemática com 4 variáveis e 6 pares de combinações em funções, mais 6 pares de combinações em planos cartesianos, em conversão variada plano cartesiano - função matemática, conjugadas com os sistemas residuais, envolve imensos cálculos pelo que o auxílio do computador se torna imprescindível.
Finalmente, é conhecido que o computador usa o sistema de numeração binário, e não o decimal assim, esta descoberta das relações que determinam os números primos, altera a criptologia computacional tradicional pelo que, de futuro, se poderão usar os números primos resultantes dos sistemas residuais de base zero e um (e não apenas o sistema residual de base zero), como tentativa de dificultar a espionagem da comunicação entre diferentes sistemas informáticos.
Doutor Patrício Leite, 18 de Outubro de 2016