Filamentos de Patrício

INTRODUÇÃO
Através do trabalho com partições, princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie dados pela sua fórmula explícita, é possível deduzir uma fórmula de conversão entre somatórios e factoriais ou permutações: essa fórmula relaciona o somatório de combinações simples, dadas pelos coeficientes do binómio de Newton, que multiplicam por arranjos com repetição fazendo a igualdade com factoriais ou permutações.
Na realidade a fórmula relacionada com os números de Stirling de segunda espécie é apenas um caso particular de uma função bem mais geral: a função de Patrício.
Resumidamente, esta função foi encontrada quando, de maneira empírica, Patrício Leite começou por realizar sequências de sucessivas subtracções de números potenciais com o mesmo expoente mas ordenados pelos valores decrescentes, contíguos, das suas bases; as sucessivas subtracções foram realizadas até chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do respectivo expoente; a seguir realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao número da linha do referido triângulo. A generalização dos resultados encontrados foi designada relação fundamental de Patrício: nesta relação é estabelecida uma igualdade entre um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse factorial traduzida na relação fundamental de Patrício por: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números da linha do triângulo aritmético ou de Pascal.
Finalmente esta relação foi generalizada e formalizada numa função, como se segue:

INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE PATRÍCIO
A interpretação da função de Patrício permite verificar, desde logo, que não se trata de uma verdadeira função zeta, no sentido tradicional, já que embora exista uma soma de infinitas potências, a variável (z) que pode ir até ao infinito, não se encontra no somatório nem no expoente mas, sim, na base dessas potências.
Por outro lado, a fórmula relacionada com o princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie que permite a conversão entre somatórios e factoriais ou permutações, mais não é do que a função de Patrício quando a variável z toma o valor zero.
Quem já interpretou os números de Stirling de segunda espécie na sua fórmula explícita, certamente terá contribuído para a interpretação da função de Patrício pelo que vou apenas transmitir algumas ideias sobre as implicações da variável z que, nesta função, entra na base da potência referente aos arranjos com repetição.
Na realidade, na função de Patrício, a expressão potencial correspondente aos arranjos completos, funciona como um agrupamento sequencial de arranjos completos que têm em comum o mesmo expoente, ou seja, a mesma classe de ordem dos arranjos.
O resultado da função de Patrício não se altera quando a variável z percorre qualquer um dos números mais o zero.
Chama-se filamento de Patrício a cada uma das sequências de agrupamentos de arranjos completos, resultantes de cada valor da variável z, previstos e necessariamente integrados na função de Patrício.
Na função de Patrício, a letra n tem em simultâneo correspondência com o factorial, o número da linha do triângulo de Pascal em relação com as combinações simples, o número da linha do triângulo de Patrício em relação com os arranjos completos assim como a respectiva classe de ordem desses arranjos; já a letra k tem em simultâneo, correspondência com o número da coluna do triângulo de Pascal em relação com as combinações simples, a alternância entre somas e subtracções e, na expressão algébrica relacionada com as sequências de arranjos completos, a manutenção da constância do tamanho dos filamentos de Patrício.
Na função de Patrício, a variável z pode percorrer todos os números, incluindo o zero até infinito e, na expressão algébrica relacionada com as sequências de arranjos completos, determina a posição do início e do fim de cada filamento de Patrício.
Considerando o significado já aqui atribuído às letras da função de Patrício, e que para todos os filamentos, k se inicia sempre com zero, é pois possível estabelecer uma designação geral para os filamentos de Patrício assim: z(n) 
O filamento número zero 0(n) da função de Patrício corresponde, ao grupo sequenciado de arranjos completos, quando a variável z toma o valor zero, ou seja, corresponde portanto à fórmula relacionada com o princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie que permite a conversão entre somatórios e factoriais.
O filamento número um 1(n) da função de Patrício corresponde à generalização traduzida na relação fundamental de Patrício.
Como os filamentos de Patrício podem, numa recta ordenada, percorrer todos os números, incluindo o zero até infinito; então eles, enquanto integrados na função de Patrício, têm implicações na teoria dos números.
Utilizando os filamentos de Patrício é possível efectuar novos arranjos, arranjos de filamentos, como que arranjos de arranjos (com e sem repetição), novas combinações, combinações de filamentos, como que combinações de combinações (com e sem repetição) novas permutações etc. pelo que, com estes filamentos, surge não só uma alteração na teoria dos números mas também a possibilidade de uma análise combinatória de segunda ordem; é ainda possível surgirem análises combinatórias de grau sucessivamente superior num prolongamento até ao infinito.
Como estes filamentos, enquanto integrados na respectiva função de Patrício, podem funcionar como números, então com eles também se podem realizar operações aritméticas, ou outras, desde que se tenha em atenção certas particularidades; por exemplo se for considerado o factorial de três (3!), então sempre em conjunto com a respectiva função, quando se soma quatro vezes o filamento de Patrício respectivo ( como seja 4x0(3) ou então 3x0(3) + 1x1(3) ou ainda 2x2(3) + 1x1(3) + 1x0(3) ou 4x3(3) ou … 4xz(3) ) obtém-se o factorial de quatro (4!) que pode se for traduzido pela designação atribuída aos filamentos z(4) portanto: 4xz(3) = z(4); com a técnica da filamentação podem ser obtidas fórmulas matemáticas que não só facilitam os cálculos da análise combinatória clássica como também fornecem novos conceitos e novos significados numa nova combinatória.
A filamentação permite estabelecer uma ponte, uma ligação de transição entre a matemática do finito ou discreta e a matemática do infinito.
 A filamentação pode ter várias aplicações práticas; por exemplo no campo do código genético na compreensão e localização das mutações genéticas de uma população, mas também na descoberta de palavras-chave em termos de segurança informática. Ficheiro Completo e Actualizado para Download
Doutor Patrício Leite, 30 de Dezembro de 2016