INTRODUÇÃO
Através do trabalho com
partições, princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de
segunda espécie dados pela sua fórmula explícita, é possível deduzir uma
fórmula de conversão entre somatórios e factoriais ou permutações: essa fórmula
relaciona o somatório de combinações simples, dadas pelos coeficientes do
binómio de Newton, que multiplicam por arranjos com repetição fazendo a
igualdade com factoriais ou permutações.
Na realidade a fórmula
relacionada com os números de Stirling de segunda espécie é apenas um caso
particular de uma função bem mais geral: a função de Patrício.
Resumidamente, esta função foi
encontrada quando, de maneira empírica, Patrício Leite começou por realizar sequências de sucessivas subtracções de números potenciais com o mesmo expoente mas ordenados pelos valores decrescentes, contíguos, das suas bases; as sucessivas subtracções foram
realizadas até
chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do
respectivo expoente; a
seguir realizou
sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até
chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de
cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo
aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao
número da linha do referido triângulo. A generalização dos resultados
encontrados foi designada relação
fundamental de Patrício: nesta relação é estabelecida uma igualdade entre
um número factorial e o respectivo polinómio de grau igual a esse factorial
traduzida na relação fundamental de
Patrício por: n! = a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
Sendo que: a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 são a sequência dos números da
linha do triângulo aritmético ou de Pascal.
Finalmente esta relação foi
generalizada e formalizada numa função, como se segue:
INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE
PATRÍCIO
A interpretação da função de Patrício permite verificar,
desde logo, que não se trata de uma verdadeira função zeta, no sentido tradicional,
já que embora exista uma soma de infinitas potências, a variável (z) que pode
ir até ao infinito, não se encontra no somatório nem no expoente mas, sim, na
base dessas potências.
Por outro lado, a fórmula
relacionada com o princípio da inclusão - exclusão e dos números de Stirling de
segunda espécie que permite a conversão entre somatórios e factoriais ou
permutações, mais não é do que a função de Patrício quando a variável z toma o
valor zero.
Quem já interpretou os números
de Stirling de segunda espécie na sua fórmula explícita, certamente terá
contribuído para a interpretação da função de Patrício pelo que vou apenas
transmitir algumas ideias sobre as implicações da variável z que, nesta função,
entra na base da potência referente aos arranjos com repetição.
Na realidade, na função de Patrício, a expressão potencial
correspondente aos arranjos completos, funciona como um agrupamento sequencial
de arranjos completos que têm em comum o mesmo expoente, ou seja, a mesma classe
de ordem dos arranjos.
O resultado da função de
Patrício não se altera quando a variável z percorre qualquer um dos números mais o zero.
Chama-se filamento de Patrício a cada uma das sequências de agrupamentos de
arranjos completos, resultantes de cada valor da variável z, previstos e necessariamente
integrados na função de Patrício.
Na função de Patrício, a letra
n tem em simultâneo correspondência com o factorial, o número da linha do
triângulo de Pascal em relação com as combinações simples, o número da linha do
triângulo de Patrício em relação com os arranjos completos assim como a
respectiva classe de ordem desses arranjos; já a letra k tem em simultâneo,
correspondência com o número da coluna do triângulo de Pascal em relação com as
combinações simples, a alternância entre somas e subtracções e, na expressão
algébrica relacionada com as sequências de arranjos completos, a manutenção da
constância do tamanho dos filamentos de
Patrício.
Na função de Patrício, a
variável z pode percorrer todos os números, incluindo o zero até
infinito e, na expressão algébrica relacionada com as sequências de arranjos
completos, determina a posição do início e do fim de cada filamento de
Patrício.
Considerando o significado já
aqui atribuído às letras da função de Patrício, e que para todos os filamentos,
k se inicia sempre com zero, é pois possível estabelecer uma designação geral
para os filamentos de Patrício assim:
z(n)
O filamento número zero 0(n) da função de Patrício corresponde,
ao grupo sequenciado de arranjos completos, quando a variável z toma o valor
zero, ou seja, corresponde portanto à fórmula relacionada com o princípio da
inclusão - exclusão e dos números de Stirling de segunda espécie que permite a
conversão entre somatórios e factoriais.
O filamento número um 1(n) da função de Patrício corresponde
à generalização traduzida na relação fundamental de Patrício.
Como os filamentos de Patrício podem, numa recta ordenada, percorrer todos
os números, incluindo o zero até infinito; então eles, enquanto
integrados na função de Patrício, têm implicações na teoria dos números.
Utilizando os filamentos de
Patrício é possível efectuar novos arranjos, arranjos de filamentos, como que
arranjos de arranjos (com e sem repetição), novas combinações, combinações de
filamentos, como que combinações de combinações (com e sem repetição) novas
permutações etc. pelo que, com estes filamentos, surge não só uma alteração na
teoria dos números mas também a possibilidade de uma análise combinatória de
segunda ordem; é ainda possível surgirem análises combinatórias de grau sucessivamente
superior num prolongamento até ao infinito.
Como estes filamentos,
enquanto integrados na respectiva função de Patrício, podem funcionar como
números, então com eles também se podem realizar operações aritméticas, ou
outras, desde que se tenha em atenção certas particularidades; por exemplo se
for considerado o factorial de três (3!), então sempre em conjunto com a respectiva
função, quando se soma quatro vezes o filamento de Patrício respectivo ( como
seja 4x0(3) ou então 3x0(3) + 1x1(3) ou ainda 2x2(3) + 1x1(3) + 1x0(3) ou
4x3(3) ou … 4xz(3) ) obtém-se o factorial de quatro (4!) que pode se for
traduzido pela designação atribuída aos filamentos z(4) portanto: 4xz(3) = z(4);
com a técnica da filamentação podem ser obtidas fórmulas matemáticas que não só
facilitam os cálculos da análise combinatória clássica como também fornecem
novos conceitos e novos significados numa nova combinatória.
A filamentação permite
estabelecer uma ponte, uma ligação de transição entre a matemática do finito ou
discreta e a matemática do infinito.
A filamentação pode ter várias aplicações
práticas; por exemplo no campo do código genético na compreensão e localização
das mutações genéticas de uma população, mas também na descoberta de
palavras-chave em termos de segurança informática. Ficheiro Completo e Actualizado para Download
Doutor Patrício Leite,
30 de Dezembro de 2016