TRIÂNGULO DE PATRÍCIO

PASCAL – NEWTON – PATRÍCIO
Blaise Pascal ao efectuar estudos sobre o triângulo aritmético desenvolveu, através da análise combinatória, uma replicação desse triângulo. Mais tarde, Isaac Newton desenvolveu o teorema binomial que viria a ser conhecido como binómio de Newton e cujos coeficientes binomiais permitem exactamente construir o triangulo aritmético ou de Pascal.
Tanto Pascal como Newton, por caminhos diferentes, chegaram à construção do triângulo aritmético; Pascal através de combinações matemáticas e Newton através da forma canónica do polinómio correspondente à potência de um binómio. Já na actualidade, Patrício Leite, trabalhando com números potenciais com o mesmo expoente, ordenados pelo valor decrescente das suas bases, realizou numa primeira fase, sequências de sucessivas subtracções, de números contíguos, até chegar ao último número natural, o qual iguala o resultado do factorial do respectivo expoente; numa segunda fase, realizou sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao número da linha do referido triângulo. A generalização dos resultados encontrados foi designada relação fundamental de Patrício:
n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n
Sendo que: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal; linha essa que é igual ao respectivo número factorial mas também ao valor do expoente.

O COEFICIENTE POTENCIAL
Uma breve análise da relação fundamental de Patrício permite verificar que nesta relação, qualquer número factorial, n! pode ser traduzido por uma expressão com n+1 termos. Cada termo desta expressão é constituído por um número, correspondente ao triângulo de Pascal, e um coeficiente potencial ( < n, k > ) constituído por uma base e um expoente.
Considerando o coeficiente potencial assim definido:                           < n, k > = (n+1-k)n, com 0 ≤ k ≤ n, logo se compreende que o expoente corresponde à linha do triângulo aritmético ou de Pascal e a base corresponde à coluna desse triângulo.

O TRIÂNGULO DE PATRÍCIO
A organização dos coeficientes potenciais de acordo com os seus expoentes e bases, nas respectivas linhas e colunas, constitui o Triângulo de Patrício.
O expoente define o número da linha e a base define a coluna mas a disposição das bases, ao longo de uma mesma linha, faz-se de modo decrescente da esquerda para a direita, partindo de n+1 e retirando sucessivamente o valor de 1 até chegar a 1; ou então, de modo crescente da direita para a esquerda partindo de 1 e acrescentando sucessivamente o valor de 1 até chegar a n+1; sendo que n é o valor do expoente.
Considerando o coeficiente potencial assim definido:                                     < n, k > = (n+1-k)n, com 0 ≤ k ≤ n, constrói-se o Triângulo de Patrício.

RELAÇÃO ENTRE OS TRIÂNGULOS DE PASCAL E DE PATRÍCIO
Os triângulos de Pascal e de Patrício são homólogos, isto é, são exactamente iguais em termos formais e estruturais, apenas diferem no valor dos números que os constituem. Portanto, para cada posição, para cada sítio ou local, do triângulo existem dois números diferentes que o podem ocupar: um número pertencente ao triângulo de Pascal e outro pertencente ao de Patrício.
Sendo homólogos também se pode fazer incidir sobre eles operações matemáticas.
Se for efectuada a operação de multiplicação, posição a posição, local a local do triângulo de Pascal pelo de Patrício e em cada linha, começando com um número positivo, se alternar entre positivo e negativo, surge a relação fundamental de Patrício que se traduz e iguala o triângulo geométrico, ou seja, a pirâmide aritmética constituída pelas sucessivas multiplicações dos números factoriais.

COMBINAÇÕES, COEFICIENTES BINOMIAIS E RELAÇÃO FUNDAMENTAL DE PATRÍCIO
 Se considerarmos as combinações simples, relacionadas com Pascal, assim como os coeficientes binomiais, relacionados com Newton, encontramos a seguinte fórmula matemática: Ckn = (nk) = n! /k!(n-k)! sabemos entretanto que tanto as combinações simples como os coeficientes binomiais se traduzem nos números que constituem o triângulo aritmético ou de Pascal. Por outro lado, a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)na2nn + a3(n-1)na4(n-2)n + a5(n-3)na6(n-4)n + … ± ± a11n com a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a1 sendo a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, também permite encontrar os números do triângulo aritmético e mais; as combinações e os coeficientes binomiais resultam de uma fórmula constituída pela relação entre números factoriais, mas a relação fundamental de Patrício, a partir de um número factorial encontra os números do triângulo aritmético portanto, há nas combinações e respectivos coeficientes binomiais, a inserção de outros triângulos aritméticos ou de Pascal cujos números podem ser descobertos pela relação fundamental de Patrício; por outro lado esta relação tem um coeficiente potencial que também pode ser transformado num binómio resolúvel pelo binómio de Newton, e quanto mais se caminha para uma generalização infinita das combinações e dos coeficientes binomiais e potenciais, mais infinito é o número de triângulos aritméticos descobertos pela relação fundamental de Patrício.
Na matemática da complexidade, as fracturas ou fractais tentam organizar o caos numa lógica determinística a priori ou a posteriori, numa relação de causa a efeito em que a causa precede o efeito ou então numa causa teleológica, que se segue ao efeito; há no entanto uma terceira determinada relação mas indeterminada pela dualidade, quando se transforma um número factorial numa expressão exponencial que também pode ser polinomial, nesta dualidade indeterminadamente determinística a causa e o efeito coexistem em simultâneo, não se sucedem, uma não resulta da outra, autoconstroem-se na sua unidade dualística, é isso que ocorre com a relação fundamental de Patrício.Ficheiro Completo para Download
Doutor Patrício Leite, 2 de Dezembro de 2016