Blaise Pascal ao efectuar estudos sobre o triângulo aritmético
desenvolveu, através da análise combinatória, uma replicação desse triângulo. Mais tarde, Isaac Newton desenvolveu o teorema binomial que viria a
ser conhecido como binómio de Newton e cujos coeficientes binomiais permitem
exactamente construir o triangulo aritmético ou de Pascal.
Tanto Pascal como Newton, por caminhos diferentes, chegaram à
construção do triângulo aritmético; Pascal através de combinações matemáticas e
Newton através da forma canónica do polinómio correspondente à potência de um
binómio. Já na actualidade, Patrício Leite, trabalhando com números
potenciais com o mesmo expoente, ordenados pelo valor decrescente das suas
bases, realizou numa primeira fase, sequências de sucessivas subtracções, de
números contíguos, até chegar ao último número natural, o qual iguala o
resultado do factorial do respectivo expoente; numa segunda fase, realizou
sequências de sucessivas substituições pelos respectivos números potenciais até
chegar, em cada caso, a expressões numéricas finais cujos primeiros números de
cada termo coincidem com os números dispostos ao longo da linha do triângulo
aritmético ou de Pascal, sendo que o expoente corresponde precisamente ao
número da linha do referido triângulo. A generalização dos resultados
encontrados foi designada relação fundamental de
Patrício:
n!
= a1(n+1)n – a2nn + a3(n-1)n
– a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n
Sendo que: a1,
a2, a3,
a4, a5,
a6, … a1
são a sequência dos números ao longo da linha do triângulo aritmético ou de
Pascal; linha essa que é igual ao respectivo número factorial mas também ao
valor do expoente.
O COEFICIENTE POTENCIAL
Uma breve análise da relação fundamental de
Patrício permite verificar que nesta relação, qualquer número factorial, n!
pode ser traduzido por uma expressão com n+1 termos. Cada termo desta expressão
é constituído por um número, correspondente ao triângulo de Pascal, e um
coeficiente potencial ( < n, k > ) constituído por
uma base e um expoente.
Considerando o coeficiente potencial assim definido: < n, k >
= (n+1-k)n, com
0 ≤ k ≤ n, logo se compreende que o expoente
corresponde à linha do triângulo aritmético ou de Pascal e a base corresponde à
coluna desse triângulo.
O TRIÂNGULO DE PATRÍCIO
A organização dos coeficientes potenciais de acordo com os seus
expoentes e bases, nas respectivas linhas e colunas, constitui o Triângulo de
Patrício.
O expoente define o número da linha e a base define a coluna mas a disposição das bases, ao longo de uma mesma linha, faz-se de modo decrescente da esquerda para a direita, partindo de n+1 e retirando sucessivamente o valor de 1 até chegar a 1; ou então, de modo crescente da direita para a esquerda partindo de 1 e acrescentando sucessivamente o valor de 1 até chegar a n+1; sendo que n é o valor do expoente.
O expoente define o número da linha e a base define a coluna mas a disposição das bases, ao longo de uma mesma linha, faz-se de modo decrescente da esquerda para a direita, partindo de n+1 e retirando sucessivamente o valor de 1 até chegar a 1; ou então, de modo crescente da direita para a esquerda partindo de 1 e acrescentando sucessivamente o valor de 1 até chegar a n+1; sendo que n é o valor do expoente.
Considerando o coeficiente potencial assim definido: < n, k >
= (n+1-k)n ,
com 0 ≤ k ≤ n, constrói-se o Triângulo de Patrício.
RELAÇÃO ENTRE OS TRIÂNGULOS DE PASCAL E DE PATRÍCIO
Os triângulos de Pascal e de Patrício são
homólogos, isto é, são exactamente iguais em termos formais e estruturais,
apenas diferem no valor dos números que os constituem. Portanto, para cada
posição, para cada sítio ou local, do triângulo existem dois números diferentes
que o podem ocupar: um número pertencente ao triângulo de Pascal e outro
pertencente ao de Patrício.
Sendo homólogos também se pode fazer incidir sobre eles operações matemáticas. Se for efectuada a operação de multiplicação, posição a posição, local a local do triângulo de Pascal pelo de Patrício e em cada linha, começando com um número positivo, se alternar entre positivo e negativo, surge a relação fundamental de Patrício que se traduz e iguala o triângulo geométrico, ou seja, a pirâmide aritmética constituída pelas sucessivas multiplicações dos números factoriais.
Sendo homólogos também se pode fazer incidir sobre eles operações matemáticas. Se for efectuada a operação de multiplicação, posição a posição, local a local do triângulo de Pascal pelo de Patrício e em cada linha, começando com um número positivo, se alternar entre positivo e negativo, surge a relação fundamental de Patrício que se traduz e iguala o triângulo geométrico, ou seja, a pirâmide aritmética constituída pelas sucessivas multiplicações dos números factoriais.
COMBINAÇÕES, COEFICIENTES BINOMIAIS E
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DE PATRÍCIO
Se
considerarmos as combinações simples, relacionadas com Pascal, assim como os
coeficientes binomiais, relacionados com Newton, encontramos a seguinte fórmula
matemática: Ckn = (nk) = n!
/k!(n-k)! sabemos entretanto que tanto as combinações simples como os
coeficientes binomiais se traduzem nos números que constituem o triângulo aritmético
ou de Pascal. Por outro lado, a relação fundamental de Patrício: n! = a1(n+1)n
– a2nn + a3(n-1)n – a4(n-2)n + a5(n-3)n – a6(n-4)n + … ± … ± a11n com
a1, a2,
a3, a4,
a5, a6,
… a1 sendo a sequência dos números ao
longo da linha do triângulo aritmético ou de Pascal, também permite encontrar
os números do triângulo aritmético e mais; as combinações e os coeficientes
binomiais resultam de uma fórmula constituída pela relação entre números factoriais,
mas a relação fundamental de Patrício, a partir de um número factorial encontra
os números do triângulo aritmético portanto, há nas combinações e respectivos
coeficientes binomiais, a inserção de outros triângulos aritméticos ou de
Pascal cujos números podem ser descobertos pela relação fundamental de Patrício;
por outro lado esta relação tem um coeficiente potencial que também pode ser
transformado num binómio resolúvel pelo binómio de Newton, e quanto mais se
caminha para uma generalização infinita das combinações e dos coeficientes
binomiais e potenciais, mais infinito é o número de triângulos aritméticos
descobertos pela relação fundamental de Patrício.
Na matemática da
complexidade, as fracturas ou fractais tentam organizar o caos numa lógica
determinística a priori ou a posteriori, numa relação de causa a efeito em que
a causa precede o efeito ou então numa causa teleológica, que se segue ao
efeito; há no entanto uma terceira determinada relação mas indeterminada pela
dualidade, quando se transforma um número factorial numa expressão exponencial
que também pode ser polinomial, nesta dualidade indeterminadamente
determinística a causa e o efeito coexistem em simultâneo, não se sucedem, uma
não resulta da outra, autoconstroem-se na sua unidade dualística, é isso que
ocorre com a relação fundamental de Patrício.Ficheiro Completo para Download
Doutor
Patrício Leite, 2 de Dezembro de 2016