Regularidade nos números primos

Por definição, no conjunto dos números naturais, diz-se que um número é primo se ele tem apenas como divisores o número um e ele próprio. Os números primos são todos desiguais no entanto há certas regularidades, certos padrões de repetição, dignos de uma reflexão baseada em pensamento matemático.
Quando se observam listas de números primos, após algum tempo, verifica-se que com excepção dos números 2 e 5, que são únicos, todos os restantes números primos terminam nos algarismos 1, 3, 7 e 9. 
Estas terminações são, por demais, evidentes já que se terminassem em zero ou par seriam divisíveis por dois e se terminassem em cinco seriam, por conseguinte, divisíveis por cinco.
Continuando a observação atenta, verifica-se que os números primos, quando colocados na recta ordenada de forma crescente assumem sequências de terminações que se repetem.
Considerando agora que são quatro, os diferentes algarismos das terminações (1, 3, 7 e 9) conclui-se que se podem formar 4 grupos de sequências de terminações: um grupo constituído pelas sequências com 4 terminações, outro grupo pelas sequências com 3 terminações, outro pelas sequências com 2 terminações e finalmente outro com apenas uma terminação, como sequência. A ordem é aqui muito importante já que, numa primeira fase, os números primos têm de estar na recta ordenada de forma crescente; numa segunda fase, as sequências repetitivas de terminações de números primos não surgem ao acaso. É agora que entra a matemática finita ou discreta com a aplicação da análise combinatória. A posição de cada um destes 4 algarismos na sequência não é indiferente, por outro lado eles podem-se repetir; portanto a ordem e a repetição caracterizam os grupos de sequências pelo que estes surgem como arranjos com repetição cuja fórmula geral conhecida é: nr. Neste caso concreto considera-se n o conjunto dos 4 algarismos e r pode assumir, conforme o tamanho das sequências, os valores de 1, 2, 3 e 4 formando assim os já referidos 4 grupos de sequências. Cada sequência pode ter no máximo 4 algarismos porque o conjunto considerado também tem 4 elementos porém, se fossem consideradas sequências maiores, estas surgiriam apenas como agrupamentos das sequências menores.
O grupo 41 tem 4 sequências de um algarismo cada; o grupo 42 tem 16 sequências de 2 algarismos por cada sequência; o grupo 43 tem 64 sequências de 3 algarismos cada e finalmente o grupo 44 tem 256 sequências com 4 algarismos em cada sequência. O número total é de 340 sequências.

A partir daqui é preciso pensar no princípio fundamental da contagem que em etapas independentes e sucessivas conclui que o número total de possibilidades é o produto dos números de possibilidades em cada etapa. Também se sabe que a permutação das 340 sequências (340!) dá o total de modos distintos como estas podem ser ordenadas. Considerando que a probabilidade é a razão ou quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, facilmente se conclui que os números primos surgem em função de probabilidades; salienta-se no entanto que uma função exacta mais não é do que uma função probabilística com 100% de probabilidades de ocorrência.
Doutor Patrício Leite, 31 de Agosto de 2017