A
teoria dos números frequentemente aceita a regra de que qualquer número
se encontra numa sequência ordenada que o localiza antes do seu superior e depois
do seu inferior. Frequentemente também, se aceita a unidimensionalidade dos
números;
como que estes se dispõem numa recta ordenada, apenas com uma dimensão.
Por outro lado, também se aceita o número em módulo, como uma distância,
um valor absoluto. Já no plano cartesiano, um ponto é definido por duas
coordenadas, pelo que cada ponto pode ser considerado um número,
ou então
faz-se analogia entre número e vector o que nos transporta para a
multidimensionalidade com múltiplas coordenadas e as matrizes a
funcionar como números. Se avançarmos para os números complexos,
que podem ser escritos na forma y=mx+b com m sendo a raiz quadrada de -1, tendo
b como a parte real e sendo x a parte imaginária, então qualquer número complexo faz
analogia com a função real da recta cujo declive é a raiz quadrada de -1.
A
teoria dos numeretos considera que estes, para terem sentido, deveriam ser
sempre compostos por dois símbolos: operação e algarismo. Os
números
seriam um conjunto restrito dos numeretos com um algarismo e um símbolo
de operação
em que o conjunto dos números naturais têm associada a operação
e o símbolo
adição,
aos inteiros acrescenta-se a operação e símbolo subtracção, aos racionais a
divisão
e aos reais a multiplicação já que as raízes são potências com expoentes fraccionários.
Os números
complexos têm associadas mais do que uma operação matemática
e poder-se-ia continuar a alargar o âmbito com números súper
e híper
complexos, etc. Finalmente
surge a matemática angulatória e o ângulo como um número. Na realidade,
aos planos cartesianos bi ou multidimensionais, têm-se acrescentado outros planos e
outras formas de localizar pontos ou números. Assim, as coordenadas polares
surgem quando um ponto no plano é representado e localizado por uma
coordenada métrica da distância e uma coordenada angular. Sob
este ponto de vista, qualquer número tem uma componente periódica
ou rotacional e uma componente não periódica. Ou seja, por analogia com um relógio
de ponteiros; quando o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, muda o dos
minutos e quando este dá a volta completa, então muda o das horas. Ora se há
10 símbolos
ou algarismos para todos os números então num sistema
angular decimal, ocorre uma rotação completa quando se percorre todos
estes símbolos. O desenvolvimento da matemática angulatória inicia-se com o
plano cartesiano como uma relação biunívoca entre um ponto localizado no
plano e um ponto descrito na forma algébrica. O plano cartesiano básico
é
composto por duas rectas ordenadas que definem o eixo das abcissas e das
ordenadas mas também por ângulos que, em principio, são
rectos ou medem 90 graus podendo, no entanto, ter outras medidas.
Frequentemente, quem trabalha com o plano cartesiano apenas usa o eixo das
abcissas e das ordenadas e paradoxalmente desconsidera os ângulos
entre estas duas rectas.
Um outro sistema de representar um ponto no plano
consiste em usar um ângulo e uma distância. Este sistema de coordenadas
polares pode ser bi ou multidimensional e tem correspondência com o sistema
cartesiano. As coordenadas polares, radial e angular, têm aplicação
na localização de submarinos, aeronáutica, engenharia espacial etc.
Agora
que foram descritos um sistema cartesiano puro cujas coordenadas assentam na
distância;
um sistema polar ou misto, cujas coordenadas assentam num ângulo
e numa distância; será descrito um sistema angular puro
cujas coordenadas assentam em ângulos.
O
sistema angular consiste em representar e localizar um ponto qualquer no plano
apenas por ângulos, podendo ser bi ou multidimensional. No sistema
angular bidimensional, a localização de um ponto resulta do encontro de
duas semi-rectas de dois ângulos cujo outro lado, a outra linha
ou semirecta são colineares.
Em
matemática
angulatória
torna-se necessário esclarecer alguns conceitos já que um ponto é
simultaneamente um ângulo de 360 graus mas também o vértice de qualquer ângulo,
por outro lado, uma recta ou semi-recta é uma sucessão de pontos mas
também
qualquer linha que divide um ângulo.
Assim, o plano angular é
constituído
por uma recta que ao dividir um ângulo de 360 graus, se converte num
eixo de simetria para dois ângulos de 180 graus cada. É
nesta recta que se vão definir dois ângulos com uma semi-recta colinear e vértice
não
coincidente; por prolongamento, para ambos os lados, da semi-recta não
colinear de cada um destes dois ângulos, vai ser encontrado um ponto
comum, num ou noutro dos ângulos simétricos de 180
graus. Este ponto comum forma um dos vértices de um triângulo,
e as suas duas coordenadas são cada uma das aberturas dos 2 ângulos
inseridos na recta, ou seja, no eixo de simetria.
De notar que há
confusões
de linguagem que cumpre esclarecer, por exemplo; não existem dois ângulos
de 30 graus mas sim duas vezes um ângulo de 30 graus.
Finalmente,
assim como há correspondências que transformam bilateralmente a
geometria analítica do sistema das coordenadas polares em cartesianas; também
tal pode ocorrer com o sistema das coordenadas angulares em polares e
cartesianas. Tais transformações serão efectuadas por matemáticos
que desejem aprofundar todas as vertentes da geometria analítica. Doutor
Patrício Leite, 5 de Novembro de 2014